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九年级数学上册知识点归纳总结

2014年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版)第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形..。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。

(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

三个角都相等的四边形是矩形。

※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)(书上:正方形的四个角都是直角,四条边都相等,正方形的对角线相等且互相平分)※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形;对角线相等的菱形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半第二章 一元二次方程1认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程......。

※把02=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。

2用配方法求解一元二次方程①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>(配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根)※配方法解一元二次方程的基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;②将二次项系数化成1; ③把常数项移到方程的右边; ④两边加上一次项系数的一半的平方;⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式;⑥两边开方求其根。

3用公式法求解一元二次方程②公式法 aacb b x 242-±-= (注意在找abc 时须先把方程化为一般形式)4用因式分解法求解一元二次方程③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)5一元二次方程的根与系数的关系※根与系数的关系:当b 2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根;当b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当b 2-4ac<0时,方程无实数根。

※如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2,则有:ac x x ab x x =⋅-=+2121。

※一元二次方程的根与系数的关系的作用: (1)已知方程的一根,求另一根;(2)不解方程,求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值,特别注意以下公式:①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=- ④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。

(3)已知方程的两根x 1、x 2,可以构造一元二次方程:0)(21221=++-x x x x x x(4)已知两数x 1、x 2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x的根6应用一元二次方程※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:①设未知数(在设未知数时,大多数情况只要设问题为x ;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);②寻找等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程)。

※处理问题的过程可以进一步概括为: 解答检验求解方程抽象分析问题→→ 第三章 图形的相似1成比例线段 一. 线段的比※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nmB A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dcb a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a,b a 与ab互为倒数; ※比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dcb a =_ 图1_B_C_A2平行线分线段成比例※两条平行线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

※平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l 1 EFBCDE AB =3相似多边形※1. 各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※2. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.※3. 三角分别相等、三边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. 判定:※4.定理两角分别相等的两个三角形相似。

※5.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

※6.三边成比例的两个三角形相似. 二. 黄金分割※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.性质:1、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.(4探索三角形相似的条件 ※1. 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所_ 图2_F_E _D _C_B _A _l _3_l _2 _l _1截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等; ③三边对应成比例.①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l 1EFBCDE AB※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.5相似三角形的判定定理的证明6利用相似三角形测高7相似三角形的性质)8图形的位似第四章 投影与视图A )三视图• 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 • 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小:长对正,高平齐,宽相等.• 虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线. B )投影• 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. • 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

• 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.• 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影. • 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称 为中心投影• 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。

C )视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。

. 眼睛所在的位置称为视点, . 由视点发出的光线称为视线, . 眼睛看不到的地方称为盲区第五章 反比例函数知识点1 反比例函数的定义(前三个截图为书上的内容,剩下为本章总结内容)⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①xky =(0k ≠), ②1kx y -=(0k ≠), ③k y x =⋅(定值)(0k ≠); ⑸函数x k y =(0k ≠)与ykx =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。

(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,xky =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。

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