2017-2018学年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设，是两个非零向量，若p：•＞0，q：，夹角是锐角，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若tanα=2，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．68．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．40969．如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．1﹣B．C． D．1﹣10．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则（a﹣bt）6展开式中t4的系数为（）A．200 B．240 C．﹣60 D．6011．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．212．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f （x），a=e3f（2），b=e2f（3），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机向量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），则c=______．14．P是棱长为2的正四面体内任意一点，则它到该正四面体各个面的距离之和等于______．15．函数f（x）=，对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则实数a的取值范围是______．16．在△ABC中，O是外接圆的圆心，若•=﹣，∠A=60°，则△ABC周长的最大值______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值．19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女（2）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（1）证明：若0＜x1＜x2，则＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即A=[1，+∞）；由B中的不等式解得：﹣3＜x＜3，即B=（﹣3，3），则A∩B=[1，3）．故选：B．2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（1﹣ai）2=（1﹣a2）﹣2ai为纯虚数，∴，解得a=±1．故选：D．3．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【分析】由题意，程序的功能是输出两数中的较大数，从而可得结论．【解答】解：由题意，程序的作用是输出两数中的较大数，所以当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是3．故选：C．4．设，是两个非零向量，若p：•＞0，q：，夹角是锐角，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、三角函数求值即可判断出结论．【解答】解：设，夹角是θ，p：•＞0，则cosθ＞0，∴θ是锐角或0，则p是q成立的必要不充分条件．故选：B．5．若tanα=2，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可利用已知条件计算求值．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α﹣cos2α===．故选：C．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长a，可得：该三棱柱的俯视图为边长为a的正三角形，即可得出面积．【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=×2=4，∴该三棱柱的俯视图为边长为4的正三角形，其面积===4．故选：A．8．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．4096【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得a n=2n﹣1，b n=2n﹣1．求得b b b=b1•b5•b9，代入计算即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，可得a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=1•2n﹣1=2n﹣1．可得b b b=b1•b5•b9=1•24•28=212=4096．故选：D．9．如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．1﹣B．C． D．1﹣【考点】几何概型．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积．即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．=π，sinxdx=﹣cosx|=﹣（cosπ﹣cos0）=2，【解答】解：S矩形=π﹣2，∴S阴影故豆子落在图中阴影部分的概率为=1﹣，故选：A．10．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则（a﹣bt）6展开式中t4的系数为（）A．200 B．240 C．﹣60 D．60【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a、b的值，代入（a﹣bt）6，写出展开式的通项，由x的指数等于4求得r值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），B（0，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．∴a=2，b=﹣1．则（a﹣bt）6即为（2+t）6．由，取r=4，可得展开式中t4的系数为．故选：D．11．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c，将x=c代入双曲线的方程，可得=2p=4c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求．【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），由题意可得c=，即p=2c，由直线AB过点F，结合对称性可得AB垂直于x轴，令x=c，代入双曲线的方程，可得y=±，即有=2p=4c，由b2=c2﹣a2，可得c2﹣2ac﹣a2=0，由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，（负的舍去），故选：C．12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f （x），a=e3f（2），b=e2f（3），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造新函数，研究其单调性即可．【解答】解：令g（x）=f（x）•e5﹣x则，=对任意的x≥0，f′（x）＞f（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在定义域上是增函数，∴g（2）＜g（3）故答案选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机向量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），则c=．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于c 程，解方程即可．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），∵P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），∴2c﹣1+c+3=6，∴c=，故答案为：．14．P是棱长为2的正四面体内任意一点，则它到该正四面体各个面的距离之和等于．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离．【解答】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为a，b，c，d，由于棱长为1的正四面体，故四个面的面积都是×2×2×sin60°=．又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为2×sin60°=，故底面中心到底面顶点的距离都是：．由此知顶点到底面的距离是=．此正四面体的体积是××=××（a+b+c+d）．所以：a+b+c+d=．故答案为：．15．函数f（x）=，对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则实数a的取值范围是[0，2] ．【考点】函数恒成立问题．【分析】讨论可得a≥0，故恒成立问题可化为x++a≥a2恒成立，从而解得．【解答】解：若a＜0，则f（a）=0＜f（0），故不成立；故a≥0，而f（0）=a2，故若对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则x++a≥a2恒成立，故a2﹣a﹣2≤0，故0≤a≤2，故答案为：[0，2]．16．在△ABC中，O是外接圆的圆心，若•=﹣，∠A=60°，则△ABC周长的最大值3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可得外接圆的半径为r=1，BC=，再利用余弦定理、基本不等式求得△ABC周长的最大值．【解答】解：△ABC中，∵O是外接圆的圆心，设外接圆的半径为r，∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，由•=﹣，可得r•r•cos120°=﹣•r2=﹣，∴r=1，∴BC==．△ABC中，由余弦定理可得BC2=3=CA2+AB2﹣2CA•AB•cos60°=AC2+AB2﹣CA•CB=（AB+AC）2﹣3AB•AC≥（AB+AC）2﹣3，求得（AB+AC）2≤12，∴AB+AC≤2，∴△ABC周长AB+AC+BC≤3，故△ABC周长的最大值为，故答案为：3．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣2．当n=1时，a1=2a1﹣2，得a1=2；当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，可得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1（n≥2），可知：数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n=2n．（2）na n=n•2n，由已知得：T n=1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一：记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，推导出四边形OCEM为平行四边形，由此能证明AC∥平面BEF．法2：以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明AC∥平面BEF．（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面ABCD 的一个法向量，利用向量法能求出平面BEF 和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法1：如图，记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，由题设知，CE，MO，即CE MO，∴四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO，即EM∥AC，又AC⊄平面BFE，EM⊂平面BFE，∴AC∥平面BEF．…证法2：由题设知，DA，DA，DC两两相互垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F（0，0，2）．设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，又，∴，取x=1，得=（1，1，2），又=（﹣2，2，0），∴=0，即，又AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BEF的法向量=（1，1，2），平面ABCD 的一个法向量为=（0，0，1），则cos＜＞===，平面BEF和平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．…19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女20（2）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率，求出对应的概率；（Ⅱ）填写列联表，计算K2的值，对照数表得出概率结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，喜欢这项活动的男生有8人，女生有15人，从中选一人有23种选法，其中选到男生有8种，所求概率为．…将，，，代入K2=中，得K2=≈5.013＞3.841，所以，有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y1﹣y2|===，∴==，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=，令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（1）证明：若0＜x1＜x2，则＜．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）解法1、求出f（x）的导数，求得单调区间，可得极小值且为最小值，解得a的范围；解法2、运用参数分离，求得右边韩寒说的最小值，即可得到a的范围；（II）取a=1，知f（x）=x﹣1﹣lnx，ln＜﹣1（0＜x1＜x2）可得lnx2﹣lnx1＜，即有＜，再由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）解法1：f（x）=x﹣a﹣lnx的导数为f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知f（x）min=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1．解法2：f（x）≥0，即a≤x﹣lnx（x＞0），令g（x）=x﹣lnx（x＞0），则g′（x）=1﹣=（x＞0），令g′（x）＞0，得x＞1；令g′（x）＜0，得0＜x＜1，即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知g（x）min=g（1）=1，可得a≤1．（II）证明：取a=1，知f（x）=x﹣1﹣lnx，由（Ⅰ）知lnx﹣x+1≤0，即lnx≤x﹣1，ln＜﹣1（0＜x1＜x2）可得lnx2﹣lnx1＜，即有＜，则==﹣1＜﹣1＜==＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D，证明FG=FE，由切割线定理得FE2=FA•FB，即可证明：FG2=FA•FB；（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG的长．【解答】（1）证明：连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D．∵∠C+∠D=90°，∴∠C+∠FEG=90°又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE∴∠C+∠FGE=90°，∴∠FGE=∠FEG即FG=FE …由切割线定理得FE2=FA•FB，所以FG2=FA•FB；（Ⅱ）解：由OB=OG=2知，OG=2，∴AG=2+2，BG=2﹣2，在Rt△OCG中，由OC=2，OG=2得，CG=4．由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即（2+2）（2﹣2）=4EG，∴EG=2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C2参数方程是（t为参数）消去参数化为直角坐标方程．（II）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出．【解答】解：（I）曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化为直角坐标方程为：x2+3y2=3，即=1；曲线C2参数方程是（t为参数）化为直角坐标方程为：x=﹣（y﹣1），即x+y﹣=0．（II），解得，即A（0，1），B（，0），线段AB的中点为M，则以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为：|a﹣4|=2，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到﹣2≤m ﹣m2，解出即可．【解答】解：（1）对于任意x∈R，f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|∈[﹣|a﹣4|，|a﹣4|]，可知|a﹣4|=2，解得：a=2或a=6；（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，即m2﹣m﹣2≤0，解得：m∈[﹣1，2]．2016年9月20日。