绝密★启用前试题类型:普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ,则S I T=( )(A) [2,3] (B)(-∞ ,2]U [3,+∞) (C) [3,+∞) (D)(0,2]U [3,+∞) (2)若z=1+2i ,则41izz =-( ) (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i(3)已知向量1(2BA =uu v,1),2BC =uu uv 则∠ABC=( )(A)300(B) 450(C) 600(D)1200(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ,B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是( )(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200C 的月份有5个 (5)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+= ( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625(6)已知432a =,254b =,1325c =,则( )(A )b a c << (B )a b c <<(C )b c a <<(D )c a b <<(7)执行下图的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )(A )3(B )4 (C )5 (D )6(8)在ABC △中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( ) (A )310 (B )10 (C )10- (D )310-(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )(A )18365+(B )54185+ (C )90 (D )81(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球,若AB ⊥BC ,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是( )(A )4π (B )92π(C )6π (D )323π(11)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) (A )13(B )12(C )23(D )34(12)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )(A )18个 (B )16个 (C )14个 (D )12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分(13)若x ,y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z=x+y 的最大值为_____________.(14)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
(15)已知f(x)为偶函数,当时,,则曲线y=f(x),在点(1,-3)处的切线方程是_______________。
(16)已知直线与圆交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若,则__________________.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) 已知数列的前n 项和1n n S a λ=+,其中λ0. (I )证明是等比数列,并求其通项公式(II )若53132S =,求λ (18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图(I )由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明; (II )建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测我国生活垃圾无害化处理量。
参考数据:719.32ii y==∑,7140.17i i i t y ==∑,721()0.55ii y y=-=∑,7≈2.646.参考公式:相关系数12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑,回归方程$$y ab =+$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 121()()()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑$,$ay bt =-$.(19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点.(I )证明MN ∥平面PAB;(II )求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(II )若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. (21)(本小题满分12分)设函数()()()cos21cos +1f x x x αα=+-,其中α>0,记的最大值为A.(Ⅰ)求f '(x );(Ⅱ)求A ; (Ⅲ)证明≤2A.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O 中»AB 的中点为P ,弦PC ,PD 分别交AB 于E ,F 两点. (I )若∠PFB=2∠PCD ,求∠PCD 的大小;(II )若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ,证明OG ⊥CD.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为3()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=.(I )写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标系方程;(II )设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标. 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+(I )当a=2时,求不等式()6f x ≤的解集;(II )设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3,求a 的取值范围.绝密★启用前试题类型:新课标Ⅲ普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)D (2)C (3)A (4)D (5)A (6)A (7)B (8)C (9)B (10)B (11)A (12)C第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)32 (14)32π (15)21y x =-- (16)4三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意得1111a S a λ+==,故1≠λ,λ-=111a ,01≠a . 由n n a S λ+=1,111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11,即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ,0≠λ得0≠n a ,所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11,公比为1-λλ的等比数列,于是1)1(11---=n n a λλλ.(Ⅱ)由(Ⅰ)得n n S )1(1--=λλ,由32315=S 得3231)1(15=--λλ,即=-5)1(λλ321, 解得1λ=-.(18)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ,28)(712=-∑=i i t t ,55.0)(712=-∑=i iy y,777111()()40.1749.32 2.89ii i i i i i i tt y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑,99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(Ⅱ)由331.1732.9≈=y 及(Ⅰ)得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb , 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. 所以,y 关于t 的回归方程为:t y10.092.0ˆ+=. 将对应的9=t 代入回归方程得:82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. 所以预测我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. (19)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由已知得232==AD AM ,取BP 的中点T ,连接TN AT ,,由N 为PC 中点知BC TN //,221==BC TN . 又BC AD //,故TN ∥ AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ,⊄MN 平面PAB ,所以//MN 平面PAB .(Ⅱ)取BC 的中点E ,连结AE ,由AC AB =得BC AE ⊥,从而AD AE ⊥,且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点,AE u u u r的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -,由题意知, )4,0,0(P ,)0,2,0(M ,)0,2,5(C ,)2,1,25(N ,(0,2,4)PM =-u u u u r ,)2,1,25(-=PN ,)2,1,25(=AN .设(,,)n x y z =r 为平面PMN 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ,可取)1,2,0(=n ,于是2558|||||||,cos |=⋅=><AN n AN n AN n .(20)解:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分 (Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--,所以01=x (舍去),11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y . ....12分(21)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)'()2sin 2(1)sin f x x x αα=---. (Ⅱ)当1α≥时,'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x x x αα=+-+2(1)αα≤+-32α=-(0)f =因此,32A α=-. ………4分当01α<<时,将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x x x αα=+--.令2()2(1)1g t t t αα=+--,则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值,(1)g α-=,(1)32g α=-,且当14t αα-=时,()g t 取得极小值,极小值为221(1)61()1488g ααααααα--++=--=-. 令1114αα--<<,解得13α<-(舍去),15α>. (ⅰ)当105α<≤时,()g t 在(1,1)-内无极值点,|(1)|g α-=,|(1)|23g α=-,|(1)||(1)|g g -<,所以23A α=-. (ⅱ)当115α<<时,由(1)(1)2(1)0g g α--=->,知1(1)(1)()4g g g αα-->>. 又1(1)(17)|()||(1)|048g g ααααα--+--=>,所以2161|()|48A g ααααα-++==. 综上,2123,05611,18532,1A αααααααα⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩. ………9分 (Ⅲ)由(Ⅰ)得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x x x αααα=---≤+-. 当105α<≤时,'|()|1242(23)2f x A ααα≤+≤-<-=. 当115α<<时,131884A αα=++≥,所以'|()|12f x A α≤+<. 当1α≥时,'|()|31642f x A αα≤-≤-=,所以'|()|2f x A ≤.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。