x 1(t)A 1co t s(1) x2(t)A 2co t s2 ()
合位移仍在同一直线上 x(t)x1(t)x2(t)
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合振动的振幅
合振动的初相
x (t) A co t s)(
式中 11 tcsgo i n1 1s A A2 2scio n22s
1、简谐振动的描述
(1) 谐振方程：x=Acos(ωt+φ)
相位
特
振幅： A
x02
v02
2
征 量
初相：
tan v0 x0
由初始条件（x0,v0）决定
角频率： k
m
由系统自身固有性质所决定
（2）振动曲线：由x-t曲线可获得如下信息
A, T,,x(t),v(t)
（ 矢量3）A 的旋端转点矢在量X轴：上以的角投速影度点ω的沿运逆动时为针简方谐向运匀动速。转动的旋转
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1
（3）旋转矢量 ：以角速度ω沿逆时针方向匀速转动
的旋转矢量 A的端点在X轴上的投影点的运动为简
谐运动。
y vm t π
2
t
0
an
A
a v
x
vAcost(π)
xAcots()
2
aA 2cots ()
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2
2、简谐振动的特征 （1）运动学特征: （2）动力学特征:
振动势能 Ep
1 kx2 2
平衡位置处 为势能零点
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重力势能 单摆，复摆
弹性势能和重力势能之和 竖直放置的 弹簧振子
习题集例12－3（P.201)
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对于单摆
F m gsin m g m gx kx
l
C
T
以最低点O(平衡位置)处为重力势 能零点，则任一位置处的重力势能为
Epm(g1lco)s
能的变化率为
(A)
(B)2 (C)4 (D) /2
解
Ek
1 mv2 2
1 kA2 sin2(t
2
)
1 2
kA2
1
cos(2t
2
2 ）
2π
' ' 2
2π
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§9-5 简谐振动的合成
一个质点同时参与几个振动，该质点的运动即振动的合 成。合位移是各振动位移的矢量和。
•一、同方向、同频率的简谐振动的合成 • •代数方法：设两个振动在同一直线上运动，具有相同 频率，有不同的振幅和初相位。
d2x dt2
2 x
Fkx
（3）能量特征:
EEk
Ep
1kA2 2
Ek
1 mv2 2
Ep
1 kx2 2
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3
例:如图m=2×10-2kg, 弹簧的静止形变为
l=9.8cm。 t=0时， x0= -9.8cm, v0=0。
（1） 证明其振动为简谐振动；取开始 m
O
振动时为计时零点， 写出振动方程；
10
10rad/s
由初始条件得
A x02(v0)2 0.09m 8 0 arc(tgvx00 )0,
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+) m
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(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0= -Asin>0 , sin0 <0, 取0=3/2
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•三、 简谐振动的总能量：
EEk
Ep
1k2 [A s2( itn ) c2 o (s t ) ]1k2A
2
2
总机械能守恒（只有保守力作功），动能与势能相互转化
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x,v
简谐运动能量图
xt 0
o
t xA co ts
T vt v A si n t
能量
o T T 3T T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1kA2c 2
o2st
t Ek
1m2A2sin2t
2
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讨论 简谐运动能量特征：
E E kE p1 2m v21 2k2x 1 2k2 A
力学谐振系统中的振动势能
Ep
1 kx2 2
Ep一定是弹性势能吗？
答：不一定
弹性势能 水平放置的弹簧振子
A 与 由 振 幅 A 1 、 A 2 及 初 位 相 1 、 2 决 定
结论： 合振动仍然是简谐振动，频率与原来相同， 振幅和初相不同。
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• •二 旋转矢量法
A1、A2 以相同的角 速度逆时针旋转， 它们之间的夹角保 持恒定，矢量合成 的四边形不变，合 矢量大小不变，并
(A）7/16 (B）9/16
(C）11/16
(D）13/16
(E）15/16
解 x1A 4
Ep 12kx2 12116kA2
E k E su m E p 1 2 k A 2 1 2 1 1 6 k A 2 1 1 6 5 E su m
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例2 、当质点以频率作简谐振动时，它的动
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
1 g 2 2 l
固有频率
1.6Hz
对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变。
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§9-4 简谐运动的能量特征 • 1）简谐振动的动能： 以水平的弹簧振子为例
k
m x
ox
设在任一时刻t，振子位移为x，速度为v，则其动能Ek
O
f
mg
cos12 4 6 5, cos12
2! 4! 6!
2!
Epm(g 1lco)s1 2mg2 l
又 x l
E p1 2m gl(x l)21 2m lgx21 2kx2
竖直放置的弹簧振子情形见习题集例12－3（P.201)
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例1、 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平 衡位置位移的大小为振幅的1/4时，其动能 为振动总能量的（ ）
v A sin ( t ) A c o s( t ) 2
Ek1 2m v21 2m A 2 2sin 2( t )
1kA2sin2(t ) ( k / m)
2
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• 2)、简谐振动的势能：
k
m x
Ep1 2kx21 2kA2cos2(t) o x
系统的动能和势能都随时间周期性变化，其变化周 期为T/2(势能的零点)
（2）若取x0=0，v0>0为计时零点，写
x
出振动方程，并计算振动频率。
解： ⑴ 确定平衡位置 mg=kl , 取为原点 。
x
k=mg/ l 。令向下有位移 x, 则
f=mg-k(l +x)=-kx
作谐振动 设振动方程为 xAcos(t0)
k m
gl
9.8 1r0a/d s 0.098
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