2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质
要点精讲
椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：
圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．
椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．
根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是
典型题解析
【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得
【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，
设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.
【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.
【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2
2
2
2
=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．
【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即
有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，
（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是
【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．
（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；
（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；
（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；
（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，
可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．
在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，
∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
+===33
21
3363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(31
31
22222
2=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y
∴|AB|=2
（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，
则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
+⋅=+++=+-=2
22)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1
31222
2=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤
整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．
【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．
【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，
点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．
（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；
∠的正切值；若不存在，请说明理由．
【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得
.
)()()(||22
222
2
2
2
1x a
c
a x
a b b c x y c x F +=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a
c
a a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得
．
证法三：设点P 的坐标为
② ③
椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||2
1x a
c a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+
-≥a c x a
c
a a x 知，所以
（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.
又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是
解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.
又，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是
（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由③得， 由④得
所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.
当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2
2
2
2
02
2
021b c a y c x MF =-=+-=⋅，
212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠⋅=
，得
解法二：
③ ④
C 上存在点M （）使S=的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2
022020b y c a y x 由④得 上式代入③得
.0))((2
2242
20
≥+-=-=c b a c b a c
b a x
于是，当时，存在点M ，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.
当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00
200121
,，
由知，所以
规律总结
1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程
组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：
（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；
（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称
为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()
2
1221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得
弦长公式为：()()[]
212
212
122
21411x x x x
k x x k P P -++=
-+=，
或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：
()[]
212
212
1222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-+
=． ③
④。