圆锥曲线专题【考纲要求】一、直线1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关系中的作用；2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二次方程的图像是直线；3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）；4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。
二、圆锥曲线1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以及求曲线交点；2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的推导过程；3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题；4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用解析法解决相应的几何问题。
【知识导图】【精解名题】一、弦长问题例1 如图，已知椭圆2212xy+=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点（1）确定直线BD斜率的取值范围（2）若割线BD过椭圆的左焦点12,F F是椭圆的右焦点，求2CDF∆的面积yxBCDF1F2O二、轨迹问题例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线221169x y -=上移动，求点B 的轨迹方程三、对称问题例3 已知直线l ：222,:1169x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由四、最值问题例4 已知抛物线2:2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补（1）求证：直线AB 的斜率为定值（2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ∆面积的最大值五、参数的取值范围例5已知(,0),(1,),a x b y →→==()a →+⊥()a →- （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆心的同一圆上，求m 的取值范围六、探索性问题例6 设x, y ∈R ，,i j →→为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a x i y j →→→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→+=（1）求点M （x, y ）的轨迹方程（2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB →→→=+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由七、与代数的综合 例7 如图，12,,...,...,n B B B 顺次为二次曲线1(0)y x x=>上的点，12,,...,...n A A A 顺次为x轴正方向上的点，且1221,...,,...,n n n A B A A B A -∆∆均为等腰直角三角形（其中12,,...,...,n B B B 为直角顶点）设n A 的坐标为(,0)n x ，（1,2,...n =）（1）求数列{}n x 的通项 （2）设n S 为数列1{}n x 的前n 项和，试比较log (1)a n S +与1log (1)2a n +的大小（0,1a a >≠）【巩固练习】1. 已知抛物线22(0)y px p =>，过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B（1）若AB 2AB p ≤，求a 的取值范围（2）若线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，试求Rt MNQ ∆的面积2. 已知椭圆C: 2212y x +=,点P （a, b ）的坐标满足2212b a +≤，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点M 为线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程3. 直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A 、B 两点，是否存在这样的实数a ，使得A 、B 关于直线y=2x 对称？如果存在，求出实数a ，如果不存在，请说明理由4. 如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且AC×BC=0，BC=2AC。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使PQ=l AB？请给出证明。
5. 已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（2，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k.（1）求双曲线S的方程；（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为2；（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值及相应的点B的坐标【二模专题】一、求曲线方程1.（上海市闸北区高三第二次模拟理科19）（满分16分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分．如图，平面上定点F到定直线l的距离2||=FM，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且2||21QFFQPQ=⋅．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知AFNA1λ=，BFNB2λ=，求证：21λλ+为定值．二、曲线的性质2. （上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科22）（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）已知椭圆)0(12222>>=+babyax的左右焦点分别为21,FF，短轴两个端点为BA,，且四边形BAFF21是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；（2）若DC,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足CDMD⊥，连接CM，交椭圆于点P。
证明：→→⋅OPOM为定值；（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线MQDP,的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
图1图8—10三、直线与圆锥曲线综合1. (上海市松江区高考模拟理科21)（本题16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分）已知椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，长轴是短轴的2倍，且椭圆E 过点2(2,)2，斜率为k 的直线l 过点(0,2)A ，n 为直线l 的一个法向量，坐标平面上的点B 满足条件n ×AB =n ．（1）写出椭圆E 方程，并求点B 到直线l 的距离； （2）若椭圆E 上恰好存在3个这样的点B ，求k 的值．2. （上海市卢湾区高考模拟考试理科22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），其焦距为2c ，若512c a -=（0.618≈），则称椭圆C 为“黄金椭圆”。
（1）求证：在黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，a 、b 、c 成等比数列；（2）黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2(,0)F c ，P 为椭圆C 上的任意一点．是否存在过点2F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足RP =-3PF 2？若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由；（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以(,0)A a -、(,0)B a 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点1F 、2F ．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．3. （上海市奉贤区高三质量调研理科22） （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 已知椭圆C 的长轴长与短轴长之比为35，焦点坐标分别为)0,2(1-F ,)0,2(2F 。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知)0,3(-A ,)0,3(B ,P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ,求ON OM ⋅的值；（3）在（2）的条件下，若(,0)G s ,(,0)H k ,且GM^HN ，)(k s <，分别以OG 、OH 为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G 、H 点坐标。
4. （上海市嘉定黄浦高考模拟理科23）(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆122=+ny m x ，常数m 、+∈R n ，且n m >． （1）当2521m n ==，时，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P ，与y 轴交于点Q ，若QF=2FP ，求直线PQ 的斜率；（2）过原点且斜率分别为k 和k -（1≥k ）的两条直线与椭圆221x y mn的交点为A B C D 、、、（按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内），试用k 表示四边形ABCD 的面积S ； （3）求S 的最大值．5. （上海市徐汇区高三第二次模拟理科22）（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 设()(),0P a b a b ⋅≠、(),2R a 为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线24y x ab=交于点Q (异于O ). （1） 若对任意0ab ≠，点Q 在抛物线()210y mx m =+≠上，试问当m 为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2） 若点()(,)0P a b ab ≠在椭圆2241x y +=上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3） 对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足1OA OB ⋅=，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切.6. （上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．已知12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=,()0a b >>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 作垂直于x 轴的直线2MF 交椭圆于M ，设2MF d = . （1）证明：,,d b a 成等比数列； (2)若M 的坐标为()2,1，求椭圆C 的方程；（3）[理科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若椭圆C 上存在点P ，使得 OP =OA +OB ，求直线l 的方程．【专题小结】1. 求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a 、b 、p 等。