第一讲 椭圆初步问题一 椭圆的定义【例1】求平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹方程。

【直观感觉】【严格求解】求平面内与两个定点1F （-c ，0）、2F （c ，0）的距离之和等于定长2a （a ＞c ）的点的轨迹方程。

【反面验证】已知方程22221x y a b+= (0)a b >>，设P （x ，y ）是该方程代表的曲线上任意一点，求证：P 到点1(F 和点2F 的距离之和等于2a 。

【经验小结】解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的几何问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上。

【要点总结】1、椭圆的定义和相关概念：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。

2、对椭圆定义的几点说明：⑴“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； ⑵作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。

若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。

⑶怎么看椭圆扁还是圆：椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆，⑷对椭圆和它的方程进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心。

⑸如果建坐标系的方法不同，会得到以下两种椭圆的方程：中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22221x y a b += (0)a b >>；22221y x a b+= (0)a b >>；问题二 椭圆的基本几何性质归纳几点说明：⑴长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。

⑵对于离心率e ，因为a>c>0，所以0<e<1；离心率反映了椭圆的扁平程度：由于c e a ===所以e 越趋近于1，b 越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，b 越趋近于a ，椭圆越圆。

⑶椭圆的特征三角形：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率。

问题三 根据简单条件求椭圆方程【例2】（熟悉椭圆的方程形式）方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A 、),0(+∞ B 、（0，2）C 、（1，+∞）D 、（0，1）【练1】已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ．【练2】已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．【例3】（熟悉椭圆的焦点）椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（ ）A 、相同的离心率B 、相同的焦点C 、相同的顶点D 、相同的长、短轴【练1】椭圆5x 2＋k y 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A 、－1 B 、1 C 、5D 、－5【练2】过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点的椭圆的标准方程为__________.【例4】分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－23，25)；总结：确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(焦点的位置)和两个定形条件(a 、b )。

求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x 轴上还是在y 轴上；所谓定量就是求出椭圆的a 、b 、c ，从而写出椭圆方程。

【练】⑴已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．⑵已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过点A (3，－2)和B (－23，1)，求椭圆的标准方程。

【例5】若P 是直线09=+-y x 上的点，求过点P 且与椭圆131222=+y x 有公共焦点，长轴最短的椭圆方程。

【练】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．【例6】（中心不在原点的椭圆方程）已知椭圆C 的焦点为1(12)F ，，2(52)F ，，椭圆上任一点P 到12F F 、的距离之和为6，求椭圆C 的方程。

【练1】椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x +y =0对称，则椭圆C 的方程是___________。

【练2】已知(2,3)P 是椭圆C ：22221x y a b+= (0)a b >>上一点，求椭圆C 关于点P 的对称椭圆的方程。

【例7】（点与椭圆的位置关系）已知直线235y kx k =-+与椭圆2219x y m+=总有公共点，求m 的范围。

【练】曲线2x 2+y 2=2a 2（a ＞0）与连结A （1，1），B （2，3）的线段没有公共点，求a 的取值范围。

问题四 求椭圆相关的轨迹方程【例8】已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．【练1】一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．【练2】一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ，求点M 的轨迹方程。

问题五 焦点三角形的问题【例9】（焦点三角形问题的一般解法）已知P 是椭圆22143x y +=上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径为12，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．32B ．94C ．94-D ．0【练】已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan ∠F 1PF 2．【例10】（焦点三角形面积公式及其应用）已知P 是椭圆162522y x +＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．小结：在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。

【练】已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A 、59 B 、779 C 、49 D 、49或779【例11】（最大角问题）证明：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 点P 在椭圆上，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

【练1】设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。

【练2】椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P的横坐标的取值范围为 。

问题五 求离心率的值或范围【例12】（直接找a 、c 的比值）P 是椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e【练】设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

【例11】（构造a c ，的齐次式，间接解出e ）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是【练】如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率是【例12】（求离心率的范围）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212MF MF b ⋅=，求椭圆的离心率的范围.【练1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．【练2】椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆M 上的任意一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是]3,[22c c ，其中22b a c -=，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）A.]21,41[B.]22,21[ C.)1,22[ D.)1,21[【家庭作业】1、如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)2、已知椭圆92522y x +＝1，F 1、F 2分别为它的两焦点，过F 1的焦点弦CD 与x 轴成α角(0＜α＜π)，则△F 2CD 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．20D ．不能确定3、设椭圆204522y x +＝1的两焦点分别是F 1和F 2，P 为椭圆上一点，并且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||等于（ ）A ．65B ．25C ．35D ．3524、直线y ＝x 与椭圆42x ＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |等于（ ）A ．2B ．554C ．5104D ．51085、以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P (53，－4)和Q (－54，3)，则此椭圆的方程是___________．6、在椭圆x y 222591+=上有一点P 满足它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的坐标为 。