《函数的基本性质》专题复习（一）函数的单调性与最值★知识梳理一、函数的单调性1、定义：设函数的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。

如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。

2、单调性的简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

★热点考点题型探析 考点1 判断函数的单调性【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性.【巩固练习】证明：函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调递减.)(x f y =A A I ⊆I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =考点2 求函数的单调区间1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++.2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.【巩固练习】1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.二、函数的最大（小）值：1、定义：设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 ；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 。

2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )； 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；考点3 函数的最值【例】求函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值和最小值：【巩固练习】1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是___________.2. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值4. 已知函数322+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =(二)函数的奇偶性★知识梳理 函数的奇偶性1、定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。

2、函数奇偶性的性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇±奇=奇， 偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶，奇⨯奇=偶，奇÷奇=偶， 偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶， 奇×偶=奇，奇÷偶=奇 非零常数×奇=奇， 非零常数×偶=偶。

3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

★热点考点题型探析 考点1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.考点2 函数的奇偶性综合应用【例1】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .)(x f x )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f )(x f )(x f x )()(x f x f =-0)()(=--x f x f )(x f y【例2】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例3】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数。

试判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并给予证明。

【巩固练习】1．函数(||1)y x x =- (|x |≤3)的奇偶性是（ ）.A ．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数2.若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）. A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－13.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．；B ．；C ．；D ．4. 设是上的奇函数，，当时，，则为5．已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f = .6.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-。

求函数()f x 的解析式。

()f x (,1)-∞-3()(1)(2)2f f f -<-<3(1)()(2)2f f f -<-<3(2)(1)()2f f f <-<-3(2)()(1)2f f f <-<-)(x f ),(+∞-∞0)()2(=++x f x f 10≤≤x x x f =)()5.7(f课后练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．下面说法正确的选项（ ） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间上为增函数的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．函数是单调函数时，的取值范围（ ） A ．B ．C ．D ．4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值 5．函数，是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与有关6．函数在和都是增函数，若，且那么（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定7．函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ） A ． B ．C ．D ．8．函数在实数集上是增函数，则 （ ）A ．21->kB ．21-<k C ． D ．9．定义在R 上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数在R 上为奇函数，且，则当，. 12．函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .13．定义在R 上的函数（已知）可用的=和来表示，且为奇函数，为偶函数，则= .14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）已知，求函数得单调递减区间.16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①； ②；③；17．（12分）已知8)(52017--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .18．（12分））函数)(),(x g x f 在区间[]b a ,上都有意义，且在此区间上①为增函数，；②为减函数，.判断)()(x g x f 在[]b a ,的单调性，并给出证明.19．（14分）在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。

生产x 台的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差。