第六章 多变量 控制系统
1、相对增益的概念和性质 2、解耦方法 3、解耦网络的数学模型
多变量控制系统 系统有一对以上的被控量和操作量，并且 这些变量之间相互关联。
第一节 耦合与解耦
耦合 几个控制系统之间的相互关联、相互影响。
例１、管道压力和流量控制系统
pC
FC
１
p
q２
例２、化工厂分离器的压力和液位控制系统
q2
q
1 x q
x qA
qc
qA
qA q
qc
1 q
1 x
11
q 1q
1 x
由相对增益性质
1 x x
x
1
x
只需测出qA和q即可算出矩阵(
x qA q)。
四、相对增益的应用
例３、在上述搅拌系统中，若工艺要求 x = 20%，则
qA qB
1
x
x
x 1
x
x q
0.8 0.2
根据性质1，得稳态相对增益矩阵：
1
11 11
1 11
11
其中，
11
k11k22 k11k22 k12k21
２、某通道相对增益 ≈１时，比如 0.8 ij 1.2 , 其余通道对该通道影响很小， 不必解耦。
例、２×２系统
_ R1
R2 _
Wc１
① Q1
W11 W21
C11
C1
C12
输出流量 q= qA+ qB 和成分 x= qA / q。求图 示混合搅拌系统的Λ矩阵
混
合
qA
搅 拌
器
qB
x、q
qA
x = qA / q
qB
q = qA+qB
混合搅拌器
其中，
11
x qA qB c x qA qc
x
qA qB c
qA
qA
qA
qB
x
1 qA
qA qB qA q
Ip0 _
pC
p
qp
气相
分
进料 离
Ih0
器 h_
LC
qh 液相
_
①
p0
qp Wc1
W11
p
h0 _
Wc2
qh
W12
W21
W22
h
②
图中：
P W11Qp W12Qh
H W21Qp W22Qh
元素下标：第二个表示输入，第一个表示输 出。
矩阵形式
P H
W11 W21
W12 Qp
同样可以推出
22 11,
12
21
k12k21 k11k22 k12k21
于是，相对增益矩阵为：
q1
c1 c2
11 21
q2
12
22
11的数值表示c1 与q1的关联程度， 12 的数值表示c1 与q2 的关联程度等。
二、相对增益的性质
1、Λ矩阵中每行（列）元素之和为１。
例如，
11
0.8时，
例如２×２系统，λ11= 0，即 k11 = k22 = 0 （由性质１），q1 对 c1； q2 对 c2 无控制作 用。
４、Λ矩阵中，当相对增益在 0.3~0.7 之间 或大于1.5 时，回路间耦合严重，必须解耦。
三、相对增益的求取方法
由系统输出量的测量值确定相对增益的方法。
例2、qA、qB 经搅拌均匀后输出，要求控制
W22
Qh
式中，WW1211
W12
W22
对象的传递函数矩阵,记作
Wo W12 W21 0 时,两回路无耦合，此时 P W11Qp ,
H W22Qh; W12 ０, W21 ０时,两回路耦合。
耦合的影响 严重时，破坏系统性能，使其无法正常运 行；甚至引发生产事故，危及设备和人身 安全。
Wc２
Q2 ②
W12 W22
C21
C22
C2
11
k11k22 k11k22 k12k21
k12、k21 都很小时，λ11 略大于 1，回路 1、2 间的耦合很弱； k12= k21= 0 时，λ11=1，两回路彼此独立。
３、某通道相对增益 ≈ 0，该通道操作量对 被控量无影响或影响甚微，不能选择此变 量配对。
0.8 0.2
0.2 0.8
；
11
1.2时，
1.2 0.2
0.2
1.2
对2×2矩阵，设
Wo
(s)
k11W11 (s) k21W21 ( s)
k12W12 (s)
k22W22
(s)
其中 kij 是相应位置上的传递函数的系数。
于是，稳态时，
Wo
(s)
k11 k21
k12
k22
C1
W11
W11W22 W12W21 W11W22
Q1
或
W11
W11W22 W12W21 W11W22
C1
Q1
②
②式的稳态值叫做回路２闭环时，从 q1 到 c1 的开环增益。
相对增益
某回路通道 q j→c i ，在其它回路均开环时 的增益与该通道在其它回路均闭环时的增
益比。
其它回路开环
0.2
0.8
qA x qB q
由性质（２），选择 qA 控制 x，qB 控制 q。
若工艺要求 x = 80%，则
qA qB
x q
0.2 0.8
0.8
0.2
qB x qA q
应选择 qB 控制 x，qA 控制 q。
ij
(ci (ci
q j )qconstant q j )cconstant
其它回路闭环
例１、２×２系统
c1 c2
k11 k21
k12 q1
k22
q2
求相对增益 11, 12 , 21, 22 。
解：
cc21
k11q1 k21q1
k12q2 k22q2
11
c1 q1 q2 c c1 q1 c2 c
解耦 设计解耦网络，抵消或削弱对象间的耦合， 使各系统能够独立工作。
第二节 相对增益
一、相对增益的定义 耦合（强弱）的程度和性质用相对增益表 示。 以２×２系统为例，若两回路间无耦合， 一个回路开环或闭环，对另一系统无影响； 若两回路间存在耦合，情况将不同。
_ R1
R2 _
① Q1
Wc1
W11 W21
其中，c1
q1
k q2 c
11
而
c1
k11q1
k12
c2
k21q1 k22
① ② 回路２开环， q2保持不变
回路２闭环， c2保持不变
c1
q1
c2 c
k11
k12
c2
k21q1 k22
k11
k12k21 k22
11
k11
k11
k12k21 k22
k11k22 k11k22 k12k21
C11
C1
C12
Wc2
Q2 ②
W12 W22
C21
C22
C2
回路２开环时， 控制器２不操作 q2， q2 保 持恒定。这时，只有 q1 对 c1 起作用，即 C1=W11Q1。
W11=C1 / Q1Fra bibliotek①W11 的稳态值叫做回路２开环时，从 q1 到 c1 的开环增益。
回路２闭环时，为使 c2 恒定，在 Wc2调整 下，q2 不断变化。此时，除 q1 对 c1 的作 用外，还有 q2 对 c1 作用，并且