举例
n=m:方系统；n>m:瘦系统；n<m:胖系统
4.1 多变量系统的基础概念
• 多变量系统的模型特点
单变量系统传递函数：
多变量系统传递函数矩阵：
4.1 多变量系统的基础概念
• 多变量系统的定义
具有多个输入量或输出量的系统，又称多输入多输出系 统。
• MIMO系统特有的一些问题
• 强关联性 • 可行性 • 能控性和能观性 • 抗干扰性 •…
4.4 耦合测度与配对规则
以TITO系统为例：
结构1： 结构2：
4.4 耦合测度与配对规则
• 耦合测度
耦合测度
衡量u1和y1 的关联程度
4.4 耦合测度与配对规则
4.4 耦合测度与配对规则
相对增益矩阵序列（Relative Gain Array）： 若第j个输入与第i个输 出配对, λij是第i个回 路的稳态耦合的一个测 度
4.4 耦合测度与配对规则
因此，回路配对方案经验证后终选为：1-1/2-3/3-2
4.4 耦合测度与配对规则
例4.4 传递函数为
如何配对？ 答案：1-1/2-4/3-3/4-2
4.4 耦合测度与配对规则
4.5 MIMO系统的解耦设计
• 耦合：控制变量与被控变量之间是相互影响的，
一个控制变量的改变同时引起几个被控变量变换 的现象。
数的相对重要性和被控参数的响应速度
4.5 MIMO系统的解耦设计
4.5 MIMO系统的解耦设计
• 主要设计方法：
• 前馈补偿法 • 对角矩阵法 • 单位矩阵法
精馏塔温度控制方案系统图 控制系统方框图
1. 给定G(s)，计算稳态增益矩阵 K，RGA(Λ ) 和NI指数；
2. 根据 Λ元素接近1的程度，得到试探性的回路配对方案； 3. 验证NI指数的正负，如果NI为正，则控制结构稳定，反之，
选择其他方案。
4.4 耦合测度与配对规则
例4.3 3×3多变量系统，其稳态增益矩阵为：
于是，回路配对方案初选为：1-1/2-2/3-3
4.4 耦合测度与配对规则
试根据以下RGA选择配对方案：
4.4 耦合测度与配对规则
附加规则：
Niederlinski 指数（NI）：
➢对TITO系统是充要条件 ➢对高阶系统是充分条件 ➢适用于具有有理传递函数元素的系统，时延系统当慎用
4.4 耦合测度与配对规则
基于RGA-NI的多变量系统回路配对规则：
解耦系统的目的是寻求适当的控制律，使输入输出相互 关联的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输入 所控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，以此 构成独立的单回路控制系统，获得满意的控制性能。
• 解耦控制的先行工作
• 控制变量与被控参数的配对 • 部分解耦：即有选择性的解耦，在选择时可根据被控参
进行Laplace变化可得：
4.2 MIMO系统的稳定性分析
• 稳定性分析：
• 状态空间形式的MIMO系统是开环稳定的，当且仅当 矩阵A的所有特征值有负实部。
• MIMO系统的传递函数矩阵的所有极点都在左半平面， 系统是稳定的
MIMO系统的极点是每一个传递函数元素的所有极点的集合 MIMO系统的零点是传递函数倒数的极点
4.1 多变量系统的基础概念
• 系统辨识与控制器设计
➢ 被测变量与控制变量的配对关系 ➢ 被控变量与操纵变量的配对关系 ➢ 单一因果关系与非单一因果关系 ➢ 关联影响下的系统稳定性分析与设计
4.2 MIMO系统的稳定性分析
MIMO传递函数模型为
其中
4.2 MIMO系统的稳定性分析
MIMO状态空间模型为
则表明其它通道对该通道的关联作用很小;无需进 行解耦系统设计。
• 当相对增益小于零或接近于零时，说明使用本通
道调节器不能得到良好的控制效果。或者说，这 个通道的变量选配不适当，应重新选择。
• 当相对增益0.3＜λij＜0.7或λij＞1.5时，则表明系
统中存在着非常严重的耦合。需要考虑进行解耦 设计或采用多变量控制系统设计方法。
• 解耦：消除系统之间的相互耦合，使各系统称为
独立的互不相关的控制回路。
• 把具有相互关联的多参数控制过程转化为几个彼
此独立的单输入-单输出控制过程来处理，实现 一个调节器只对其对应的被控过程独立地进行调 节。这样的系统称为解耦控制系统（或自治控制 系统）。
4.5 MIMO系统的解耦设计
• 解耦控制的目的
4.4 耦合测度与配对规则
• 例4.1 已知一个2*2系统的模型为
试问其RGA是多少？
4.4 耦合测度与配对规则
• 例4.2 请问以下Wood & Berry双蒸馏塔的RGA是
多少？
4.4 耦合测度与配对规则
NO! NO!
NO!
NO!
4.4 耦合测度与配对规则
• 当通道的相对增益接近于1，例如0.8< λij <1.2，
第四章多变量控制系统
2020年4月23日星期四
系 复杂过程控制
统 参
非最小相 位系统
数
已 过程控制系统的
知 基本概念
系 统 参 数正确选择被控对象， 被控变量，操纵变量，…
能够正确画出系统的框图
根据控制目标选择合 适的控制规律
控制器参数整定
验证性能评估指标
第四章 多变量控制系统的 辨识与设计
• Highlights
• What’s MIMO systems • Why we study MIMO systems • How to design for MIMO systems
4.1 多变量系统的基础概念
• 多变量系统的结构特点
单入单出系统（SISO）: 多输入多输出系统（MIMO）:
MIMO系统结构
系统分解
控制信号的定义
4.3 一般MIMO过程的辨识
• 辨识系统参数的方法
• 独立单回路测试：结构简单，计算量少，对扰动敏感 • 分散继电器测试：闭合回路，对扰动不敏感，不易得
到极限环，建模困难 • 开环阶跃测试：叠加原理
4.4 耦合测度与配对规则
有无规则？ 如何评价？
配对规则 耦合测度
➢方多变量系统的零点就是传递函数矩阵行列式的零点 ➢非方多变量系统的零点定义为使传递函数降秩的s的值
4.2 MIMO系统的稳定性分析
选取控制器Gc(s),可得MIMO的闭环传递函数矩阵为：
SISO 极点为
MIMO 极点为回差矩阵多项式的根
4.3 一般MIMO过程的辨识
一组 SISO
4.3 一般MIMO过程的辨识