佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法与数据拟合 专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 10 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和三次样条插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。

二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、三次样条插值 三、实验步骤1、用MATLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、用MATLAB 编写独立的三次样条函数（边界条件为第一、二种情形）4、已知函数在下列各点的值为：根据步骤1,2,3编好的程序，试分别用4次拉格朗日多项式4()L x 、牛顿插值多项式4()P x 以及三次样条函数()S x (自然边界条件)对数据进行插值，并用图给出 ｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，4()L x 、4()P x 和()S x 。

5、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x=-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。

6、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。

（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x 。

（2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 。

7、对于给函数21()125f x x =+在区间[-1,1]上取10.2(0,1,,10)i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第5题的结果比较。

四、实验过程与结果：1、Lagrange 插值多项式源代码：function ya=lag(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 ya=0; mu=1; %初始化%循环方式求L 系数，并求和： for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) if i ~= jmu = mu * (xa - x(j) ) / ( x(i) - x(j) ); else continue end endya = ya + y(i) * mu ; mu = 1; end2、Newton 源代码：function ya = newton(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 %建立系数零矩阵D 及初始化：D = zeros(length(x)-1);ya = y(1);xi = 1;%求出矩阵D，该矩阵第一行为牛顿插值多项式系数：for i=1:(length(x)-1)D(i,1) = (y(i+1) -y(i))/(x(i+1) -x(i));endfor j=2:(length(x)-1)for i=1:(length(x)-j)D(i,j) = (D(i+1,j-1) - D(i,j-1)) / (x(i+j) - x(i)); endend%xi为单个多项式（x-x(1))(x-x(2))...的值for i=1:(length(x)-1)for j=1:ixi = xi*(xa - x(j));endya = ya + D(1,i)*xi;xi = 1;end3、三次样条插值多项式（1）（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1)%第一类边界条件下三次样条插值；%xi 所求点；%yi 所求点函数值；%x 已知插值点；%y 已知插值点函数值；%f_0左端点一次导数值；%f_n右端点一次导数值；n = length(x0);z = length(y0);h = zeros(n-1,1);k=zeros(n-2,1);l=zeros(n-2,1);S=2*eye(n);for i=1:n-1h(i)= x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-2k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i));l(i)= 1-k(i);end%对于第一种边界条件：k = [1;k]; _______________________(2)l = [l;1]; _______________________(3)%构建系数矩阵S：for i = 1:n-1S(i,i+1) = k(i);S(i+1,i) = l(i);end%建立均差表：F=zeros(n-1,2);for i = 1:n-1F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i));endD = zeros(n-2,1);for i = 1:n-2F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i));D(i,1) = 6 * F(i,2);end%构建函数D：d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4)dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5)D = [d0;D;dn]; ______________(6)m= S\D;%寻找x所在位置，并求出对应插值：for i = 1:length(x)for j = 1:n-1if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j))y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+...(m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+...(y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break;else continue;endendend（2）（自然边界条件）源代码：仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改:__(1):function y=yt2(x0,y0,x)__(2):k=[0;k]__(3):l=[l;0]__(4)+(5):删除—(6):D=[0:D:0]4、——————————————PS:另建了一个f方程文件，后面有一题也有用到。

function y=f(x0)y = 1./(1+25.*x0.^2);___________________________clc;clear;x1=[,,,,];y1=[,,,,];plot(x1,y1,'.');hold onxo=[::1];y=lag(x1,y1,xo);plot(xo,y,'o')hold on;y=newton(x1,y1,xo);plot(xo,y,'r');hold on;y=yt2(x1,y1,xo);plot(xo,y,'*')h = legend('原始','拉格','牛顿','自样',4);5、clc,clear;x1=linspace(-1,1,10);x2=linspace(-1,1,20);xo=[-1::1];yo=f(xo);plot(xo,yo);hold on;y=f(x1);y=newton(x1,y,xo);plot(xo,y,'k');hold on;y=f(x2);y=newton(x2,y,xo);plot(xo,y,'r')h = legend('原始','10插','20插',3);6、clc,clear;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 ];xo=[0:1:64];y=lag(x1,y1,xo)plot(xo,y,'k');hold ony=yt2(x1,y1,xo)plot(xo,y,'r')h = legend('拉格','自然样条',2);7、clc,clear;x1=linspace(-1,1,11);xo=[-1::1];y=f(x1);yo=f(xo);plot(xo,yo,'r');hold onp=polyfit(x1,y,3);y1=polyval(p,xo);plot(xo,y1)h = legend('原图','三次曲线拟合',2);p%该曲线的三次多项式系数依次显示五、讨论分析及感想个人感觉就是在数据点比较少，要求比较低的情况下，使用拉格朗日或是牛顿插值就足够了。

但是当数据点比较多的时候，使用样条曲线就更好。

当数据更多时，就可以使用曲线拟合方法来求近似值。

工程数学的基础知识并不是很苦难，但是很实用，是有必要好好学下的。

Matlab 也是比较强大的工具，比较符合人的思维逻辑，上手很快。

看书上的程序例子和实际编写还是有区别的，看得懂不一定编写的好，主要还是思维方式的锻炼吧~格式方法之类，只要了解了其基本功能，然后就是一系列的组合，多训练就熟悉了，比较有趣的课程吧，关键是有数据，有输出图像，看的清晰明白。

而且出现的错误，都有清晰的指导，修改起来也很快捷。

至于具体的分析，在编写三次样条的时候发现，使用矩阵的思想分析世界是有很大优势的，以后自己会多加训练。