第三章 假设检验课后作业参考答案3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω,今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。
假设在正常条件下,电阻值服从正态分布,而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。
已知改变工艺前的标准差为0.06Ω,问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响?(01.0=α)解:(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H , (2)构造统计量36/06.064.261.2/u 00-=-=-=nX σμ(3)否定域⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=--21212αααu u uu u u V (4)给定显著性水平01.0=α时,临界值575.2575.2212=-=-ααuu ,(5) 2αu u <,落入否定域,故拒绝原假设,认为新工艺对电阻值有显著性影响。
3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。
已知这种元件寿命服从标准差100σ=(小时)的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
解:{}01001:1000, H :1000X 950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设:构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:此题中:代入上式得:拒绝域:本题中:0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即,拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2,σμN ,其中()2/40cm kg =σ。
现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ,与以往正常生产时的μ相比,X 较μ大20(2/cm kg )。
设总体方差不变,问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高? 解:(1)提出假设0100::μμμμ>=H H , (2)构造统计量5.13/4020/u 00==-=nX σμ (3)否定域{}α->=1u u V(4)给定显著性水平01.0=α时,临界值33.21=-αu(5) α-<1u u ,在否定域之外,故接受原假设,认为这批钢索质量没有显著提高。
3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布,问在0.01α=下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为3.25?解:0101102: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419H x μμμμσ==≠==提出假设:构造统计量:本题属于未知的情形,可用检验,即取检验统计量为:本题中,代入上式得:否定域为:1-20.995120 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t tH ααα-⎧⎫-⎨⎬⎩⎭==<∴本题中,接受认为这批矿砂的镍含量为。
3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设:0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%i ii μμσσ≥<≥<{}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量:本文中未知,可用检验。
取检验统计量为X 本题中,代入上式得: 0.452%-0.5%拒绝域为:V=t >t 本题中,01 4.1143H <=∴t 拒绝{}22200222212210.952()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919ii n n ααμχσσχχχχχχ--===*==>--==2构造统计量:未知,可选择统计量本题中,代入上式得:()()否定域为:本题中, 210(1)n H αχ-<-∴接受3.6 使用A(电学法)与B(混合法)两种方法来研究冰的潜热,样品都是C o72.0-的冰块,下列数据是每克冰从C o72.0-变成C o0水的过程中吸收的热量(卡/克);方法A :79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04 79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02方法B :80.02,79.94,79.97,79.98,79.97,80.03,79.95,79.97假设每种方法测得的数据都服从正态分布,且他们的方差相等。
检验:0H 两种方法的总体均值相等。
(05.0=α)解:()()481222413122181131106.881,104.51319788.7981,0208.80131-=-===⨯=-=⨯=-=====∑∑∑∑i i i i i i i i Y Y S X X S Y Y X X(1)提出假设211210::μμμμ≠=H H ,(2)构造统计量()98.32222211212121=+-+-+=S n S n YX n n n n n n t (3)否定域()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+>⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+<=--22221212121212n n t t n n t t n n t t V ααα(4)给定显著性水平05.0=α时,临界值()()0930.2192975.02121==-+-t n n tα(5) ()22121-+>-n n t t α,样本点在否定域内,故拒绝原假设,认为两种方法的总体均值不相等。
3.7 今有两台机床加工同一种零件,分别取6个及9个零件侧其口径,数据记为61,,X X X 及921,,Y Y Y ,计算得∑∑∑∑========9129161261173.15280,8.307,93.6978,6.204i i i i i i i iY Y X X假设零件的口径服从正态分布,给定显著性水平05.0=α,问是否可认为这两台机床加工零件口径的方法无显著性差异? 解:357.01,345.011222212221=-==-=∑∑==n i i n i i Y Y n S X X n S(1)提出假设2221122210::σσσσ≠=H H ,(2)构造统计量()()031.11122122121=--=S n n S n n F (3)否定域()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<=--1,11,11,121212121212n n F F n n F F n n F F V ααα(4)给定显著性水平05.0=α时,临界值()()82.48,51,1975.02121==---F n n Fα(5) ()1,12121--<-n n FF α,样本点在否定域之外,故接受原假设,认为两台机床加工零件口径的方差无显著性影响。
3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中2SiO 的含量,得如下结果 重量法:n=5次测量,120.5%,0.206%X S == 比色法:n=5次测量,221.3%,0.358%Y S == 假设两种分析法结果都服从正态分布,问(i )两种分析方法的精度σ()是否相同? (ii )两种分析方法的μ均值()是否相同?0.01α=() 解:(i )121122121221212121211H : H :n (1) F=n (1)H FF 11(11)(11)V H 0.015, n S n S n n n n n n n αασσσσα-=≠----⎧⎫⎧⎫----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭==00220提出原假设:对此可采用统计量在下,(,),我们可取否定域为V=F<F ,F>F ,此时 P()=本题中,111 x 20.5%, S =0.206% 5, y 21.3%, S =0.358%n ===212122120.0050.9950.0050.995n (1)5(51)0.206%F=0.3311n (1)5(51) F 0.0669 F F F H n S n S -*-*==-*-*=∴220代入上式得:()(0.358%)1(5,5)=14.94(5,5)=14.94由于 (5,5)<F<(5,5)接受即无明显差异。
(ii)1202122222121112012H H :(11() ()H 2 V=n n i i i i X Y S X X S Y Y n n t n n t μμμμσ===≠=-=-+-∑∑11提出假设::这种未知的场合,用统计量其中在成立时,服从自由度为的分布。
否定域为:12121111t ((2))V H 0.015, x 20.5%, S =0.206% 5, y 21.3%, S =0.358%()t n n n n X Y αα-⎧⎫>+-⎨⎬⎩⎭======0此时 P()=本题中,代入上式得:120.9951-2121-20 =-3.8737t (2)t (8) 3.3554t(2),n n t n n H αα+-==>+-∴拒绝即差距显著。
3.9设总体116(,4),,,XN X X μ为样本,考虑如下检验问题:{}{}01123:0 H :1() =0.05 V ={2X -1.645}V = 1.502X 2.125V =2X 1.962X 1.96(ii)H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好?解:{}{}{}{}00.97512012()0.050.05:02*1.960.052 1.64502 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)=1-0.95=0.05V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P X ααμσμσ-=∈=⎧⎫-⎪⎪=>==⎨⎬⎪⎪⎩⎭=∴>==≤-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪≤-=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=≤≤即,P U 这里P {}{}{}{}{}{}203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.052 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X P V H V X X X X H V X σββ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=Φ-Φ=-=⎫⎪⎪=≤-≥=≥=≥⎬⎪⎪⎭<=-Φ=X ≥-或()犯第二类错误的概率 =P -V =P {}1μ=-{}{}223310.3551(0.355)0.36:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.96110.04 3.96V P X V P X σβμσβμσ⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≥=-Φ=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=-≤≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ΦΦ=≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎭X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50) =1X =P ⎪ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小,即V 最好。