第一章1、熟悉误差、精度、有效数字的基本概念和相关计算方法。

答案：略2、用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。

测得值各为50.004mm，80.006mm。

试评定两种方法测量精度的高低。

解：两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：δ1＝50.004-50＝0.004（mm）；δ2＝80.006-80＝0.006（mm）；两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝0.004/50=0.008%；和δ2／L2＝0.006/80=0.0075 %；显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。

3、若某一量值Q用乘积ab表示，而a与b是各自具有相对误差f a和f b的被测量，试求量值Q的相对误差。

解：∵相对误差=绝对误差/真值=(测得值-真值)/真值∴ a = a0(1+f a)；b = b0(1+f b)；式中a0、b0分别为a、b的真值。

则Q =ab = a0(1+f a) b0(1+f b)≈a0 b0(1+f a+ f b)因此，Q的相对误差约为（f a+ f b)第二章1、在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

解：①求算术平均值②求残余误差：各次测量的残余误差依次为 0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。

③求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算：用别捷尔斯公式计算：④求算术平均值的标准差⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录表1 正态分布积分表，得置信系数t=2.6。

故：单次测量的极限误差：算术平均值的极限误差：⑥求得测量结果为：2、甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量 5 次，测得值如下：α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”，α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”；试求其测量结果。

解：①对于每一组的测量，是等精度测量，分别先求各组的算术平均值。

用贝塞尔公式计算各组的标准差：两测量列的算术平均值的标准差：②确定各组的权③求加权算术平均值④求加权算术平均值的标准差或：⑤测量结果：3、对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

解：用 t 检验法进行检验前4次测量的算术平均值：后6次测量的算术平均值：由ν=4+6-2=8及取α=0.05，查t分布表，得t a=2.31。

因可判断两组数据可能存在系统误差。

还可以用其它方法。

4、对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。

解：将有关计算数据：平均值、残差ν等列于表中：i直接求得15 个数据的算术平均值及其标准差：① 用莱以特准则判别粗大误差因故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。

再对剩余的14个测得值重新计算，得：由表知第14个测得值的残余误差：故也含粗大误差，应剔除。

再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。

② 用格罗布斯准则判别已经计算出15个测量数据的统计特征量：将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：是否含有粗大误差：首先判别x(15)查表得：则：故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。

是否含有粗大误差。

已知： 再对剩下的14个测得值计算，判断x(1)查表得：则：故第14 个测得数据也包含粗大误差，应当剔除。

再重复检验，其它各测得值已不再包含粗大误差。

③ 用狄克松准则判别将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：判断最小值x (1)与最大值x (15)是否包含粗大误差。

因n=15，以统计量r 22和r ’22计算查表得r 0(15, 0.05) =0.525,因故：x (1)和x (15)（即所测的第4 和第14个测量值）包含粗大误差，应予剔除。

再重复检验剩余的13个测得值，已不再包含粗大误差。

5、测量圆盘的直径(72.0030.052)D mm =±，按公式计算圆盘面积2/4S D π=，由于选取π的有效数字位数不同，将对面积S 计算带来系统误差，为保证S 的计算精度与直径测量精度相同，试确定π的有效数字位数？ 解：测得D的平均值为72.003mm由24D S π=，当D 有微小变化D ∆、π有π∆变化时，S 的变化量为：222243.141672.00372.0030.052(0.052)2472.0030.052 5.881340.00450.004S S DD S D D D πππππππ∂∂∆=∆+∆=∆+∆∂∂⨯±=⨯±+∆±=∆∆=±≈± π∴取4位有效数字第三章1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸为：l 1=40mm ，l 2=12mm ，l 3=1.25mm ，l 4=1.005mm 。

经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为：Δl 1=−0.7μm ，Δl 2=+0.5μm ，Δl 3=−0.3μm ，Δl 4= +0.1μm ；δlim l 1=±0.35μm ，δlim l 2=±0.25μm, δlim l 3=±0.20μm ，δlim l 4=±0.20μm 。

试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。

解：量块组的关系为：L =l 1+l 2+l 3 +l 4，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。

已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。

ΔL =Δl 1 +Δl 2 +Δl 3 +Δl 4=−0.7+0.5−0.3+0.1＝－0.4(μm)所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值 E 为：E = −ΔL = −(−0.4) = 0.4 (μm) 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：)(515.02.020.025.035.0222242lim 32lim 22lim 12lim lim m l l l l L μδδδδδ±=+++=+++=2 已知x与y的相关系数ρxy =−1，试求u=x 2+ay的方差σu 2。

解：属于函数随机误差合成问题3 如图，用双球法测量孔的直径D，其钢球直径分别为d 1，d 2测出距离分别为H 1,H 2，试求被测孔径D与各直接测量量的函数关系D=f(d 1,d 2,H 1,H 2)及其误差传递系数。

解：由几何关系易求被测孔径D各直接测量量的误差传递系数如下：4 对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位g）为428.6，429.2，426.5，430.8。

已知测量的已定系统误差Δ=−2.6g，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所列。

若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

解：①4 次重复测量的平均值：②已知测量有已定系统误差Δ=−2.6g ，依此对测量结果进行修正，则测量结果的最可信赖值为：③ 因测量的极限误差服从正态分布，其合成的极限误差为a、随机误差有三项，其合成极限误差为：b、未定系统误差有五项，其合成极限误差为：故总的极限误差为：④ 测量最后结果表示为：第四章1、望远镜的放大率D=f 1/f 2，已测得物镜主焦距f 1±σ1=(19.80±0.10)cm，目镜主焦距f 2±σ2=(0.800±0.005)cm，求放大率测量中由f 1、f 2 引起的的不确定度分量和放大率D的标准不确定度。

解：依题意，所给出物镜f 1的测量不确定度为标准差的1倍，则其标准不确定度为物镜f 2的测量不确定度也为标准差的1倍，其标准不确定度为考虑到f 1与f 2测量不确定度的相关系数为0，根据测量不确定度的合成可得放大率D=f 1/f 2的标准不确定度2、在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：1l = 40mm，l 2=10mm，l 3=2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过0.45mm、0.30mm、0.25mm（取置信概率P=99.73%的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。

解：L=52.5mm ， l 1=40mm ， l 2=10mm ， l 3=2.5mm3、用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流，5次重复测量的平均值为0.320mA，平均值的标准差为0.001mA；已知漏电测量仪的示值误差范围为±5%，按均匀分布，取相对标准差为10%；测量时环境温度和湿度的影响范围为±2%，按三角分布，其相对标准差为25%；试给出泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率99%）解：1.不确定度的评定泄漏电流不确定度影响显著的因素有：重复测量引起的不确定度ux1；示值误差引起的不确定度ux2；环境温湿度引起的不确定度ux3。

分析这些不确定度可知，不确定度ux1采用A类评定，而不确定度ux2、ux3采用B类评定。

下面分别计算各不确定度分量。

重复测量引起的不确定度ux1，由5次测量平均值的标准差为0.001mA，知重复测量的标准不确定度ux1=0.001mA。

且不确定度分量u1=ux1=0.001mA。

其自由度ν1=5-1=4。

示值误差引起的不确定度ux2，按均匀分布，a=0.320×5%=0.016mA，知示值误差引起的不确定度ux2=a/√3 =0.00924mA，不确定度分量u2=ux2=0.00924mA。

对应自由度环境温湿度引起的不确定度ux3，按三角分布，a=0.320×2%=0.0064mA，知示值误差引起的不确定度ux3=a/√6 =0.00261mA，不确定度分量u3=ux3=0.00261mA。