初中几何热点问题探究几何作图及操作探究问题这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、 几何设计问题•这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知 识，以达到动手动脑的目的•解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交 流、反思等实践活动过程， 利用已有的感知与发现结论从而解决问题 •关键是要学生学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数 学问题，适合现有的知识水平和实践能力.（一）几何作图题1、尺规作图题例 （2007南京）已知直线I 及直线I 外一点A ,分别按下列要求写出画法，并保留作图痕迹•⑴在图1-1中，只用尺规在直线 I 上画出两点 B C,使得点A B 、C 是一个等腰三角形的三 个顶点； ⑵在图1-2中，只用圆规在在线I 外画出一点P,使得点A 、P 所在直线与直线I 平行• 解析 ⑴画法一：以A 点为圆心，大于 A 点到直线I 的距离为半径画弧，与直线 I 交于B C 两点，则点B C 即为所求•（如图1-3 ）画法二：在直线I 上取一点B ,以B 为圆心，AB 的长为半径画弧，与直线I 交于点C,则点B 、 C 即为所求•（如图1-4 ）图1-4评‘点 :本题利用尺规作图，作等腰三角形和平行线，方法比较新颖，既考查了学生的作图能 力，更考查了学生对原理的分析理解能力•第⑴问作等腰三角形要注意有两种情况，而第⑵问过直线外一点作已知直线的平行线则是利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法•熟悉 一种基本作图，并能运用规范的语言对步骤进行描述是作图题的基本技能练习：（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个1直角三角形，方法是：画线段AB 分别以点A 、B 为圆心，以大于 一AB 长为半径画弧，两弧相交于2点C,连接AC;再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AC 和延长线于点 D,连接BD,则厶ABD 就是直角三角形•⑴请你说明其中的道理；⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为⑵画法: 长为半径画弧, 在直线I 上任取B 、C 两点，以A 为圆心，BC 的长为半径画弧，以 C 为圆心，AB 的 两弧交于点P ,则点P 即为所求•（如图1-5 )图1-1 图1-2图1-3图1-530° （不写作法，保留作图痕迹）解析在正方形网格中找到适当的格点，禾U 用网格中有些线段的端点在格点上，可以计算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等 •如图3-2在正方形网格中找到P , P 2, P 3这三个点，作射线 OP,射线OP 即为所求•评‘点 :本题利用格点作图，作一个角的角平分线，方法新颖，思路巧，考查了学生对角平线 原理的分析理解能力以及解题方法和技巧上的创新能力•正确利用格点作图要充分运用好网格中隐含的平行、垂直、特殊关系的角以及相等的线段和线段的长，处理好网格中计算例2如图，在一个“ 10X 10”的正方形 DEFG 网格中有一个△ ABC⑴在网格中画出厶 ABC 向下平移三个单位得到的△ A i BiC i ;⑵在网格中画出厶ABC 绕C 点逆时针方向旋转 900得到的△ A 2B 2C ;⑶若以EF 所在的直线为x 轴,ED 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，写出A i ,A 2两点的坐标•解析 ⑴图形平移时，图形上的每个点都平移相同的距离 ，如图4-2中所示△ A i BC;⑵图形旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△ AB 2C ；⑶平面直角坐标系如图 4-2 所示,易知:A i (8,2),A 2(4,9).评点：平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变2、格点作图例1如图2-1，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,出/ AOB 勺平分线./ AOB 1在方格纸上，请作D化•因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、平 移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方 法是平移和旋转作图是最常用的方法.练习 1. （ 2007宁波）面积为1个平方单位的正三角形，称为单位正三角形.下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形•三角形的顶点称为格点•在图 5-1，图5-2，图5-3中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点都在格点、面积都为1 2个平方单位.2.在如图6所示的平面直角坐标系中，已知△ ABC . （1）将厶ABC 向x 轴负半轴方向平移 4个 单位得到厶A I B I C I ，画出图形并写出点 A i 的坐标；⑵以原点O 为旋转中心，将△ ABC 顺时针旋转90°得到△ A 2B 2C 2,画出图形并写出点 A 2的坐标； ⑶ △ A 2B 2C 2可以看作是由△先向右平移4个单位，然后以原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°得到的.除此之外，△ A 2B 2C 2还可以由厶A i B i C i 怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形 变换的步骤.（二）操作探究题例i （2006连云港）（i ）图7-i 是一块直角三角形纸片.将该纸片按如方法折叠，使点A与点C 重合，DE 为折痕.试证明厶CBE 是等腰三角形；（2） 再将图7-1中的△ CBE 沿对称轴EF 折叠（如7-2图）.通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个 矩形为“组合矩形”。

你能将图7-3中的△ ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成， 请在图7-3中画出折痕；（3）请你在图7-4中的方格纸中画出一个斜三角形 ，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为 正方形；②顶点都在格点上；（4）有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形别在原四边形的四条边上 ）.请你进一步探究：一个非特殊的四边形 边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形?（其中的内接矩形的四个顶点分（指除平行四边形、梯形外的图7-1C F B 图7-2Af 、7、rXC图7-3图7-4A■解析 ⑴ 由对称性可知/ A=Z ACE,所以/ ECB H B,所以△ CEB 为等腰三角形；（2）任意三 角形都能折成“组合矩形”，其具体做法可以参照图 7-3的折法，将其分成两个直角三角形，有三 种不同的折法；（3）首先要体现出一条边与该边上的高相等，这样折出来的矩形才是正方形，再者 要满足正方形的顶点都在格点上； （4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个“组合矩形”.评‘点：此题阅读量大，对学生研究问题、分析问题的能力提出了挑战，作为一道操作题学生 在可能的情况下可以动手操作，但更多的是要对操作认真的观察和分析，找出问题的实质所在，同 时要借助给出的操作示例运用类比的思想，启示 （2）问的解题思路，而第（3）、⑷问学生可以先画图分析再得出结论.练习 1.图8-1是一个等腰三角形，把它分成两个全等的三角形，图8-2是个任意三角形，把 它分割成四个全等的三角形 ，图8-3是个直角三角形，/ C=9C°, AC=1,BC=2,把这个三角形分成五个全 等的三角形.例2 （2007福建宁德）已知：矩形纸片 ABCD 中，AB=26cm ，BC=18.5cm ，点E 在AD 上，且AE=6cm ， 点P 是AB 边上一动点.按如下操作： 步骤一：折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕 MN 如图）; 步骤二：边P 作PT 丄AB,交MN 所在的直线于点 Q,连接QE 如图）.（1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填号 ）；（2） 如图所示，将纸片ABCD 放在平面直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作 ： ① 当点P 在A 点时,PT 与MN 交于点QQ 点的坐标是（一_） ________ ； ② 当PA=6cm 时,PT 与MN 交于点 Q,Q 2点的坐标是（,） _______ ；③ 当PA=12cm 时,在图中画出MN,PT 不要求写画法）,并求出MN 与PT 的交点Q 点的坐标； （3） 点P 在运动过程中,PT 与MN 形成一系列的交点 Q,Q 2,Q 3,…….观察、猜想：众多的交点形 成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.=6^5 ••• PF=- PE=3 J5 . v/Q 3PE+Z EPA=90, / AEP+/ ， 2EPA=90,「./Q 3PE=/ AEP. •△Q S PF S ^ PEA,•Q 3(12,15).方法二 过点 E 作 EGL Q 3P 于 G,则四边形 APGE 是矩形.• GP=6,EG=12 设Q 3G= x ,图9-218 J hyDC12---------------- 16Q 1 ^]°2O ( A )6 1218 24B图 9-318 12Q 3图9-4①（0,3）:②（6,6）;③画图，如图所示.方法设MN 与EP 交于点F,在 Rt △ APE 中，•/ PE= AE 2 AP 2Q 3 P PF PE EAC'则Q 3E =Q3P=X +6.在 Rt 3EG 中,•/ EQ 2=E G+Q&二（X +6） 2=122+X ： /• x=9, /.Q 3（12,15） .（3）1这些点形成的图象是一段抛物线.函数关系式是： y — X 2+3 （0< X < 26）.12评点：此题作为一道动手题目要能看懂题意并能按要求规范操作，只有明确了 所得Q 点 的真正特点，才能正确求出点Q 的坐标，另外第 （3）问判断Q,Q 2,Q 3,……形成的图象则考察了学生的发散思维以及观察推断能力.练习 （2007桂林）已知：如图，△ ABC 关于y 轴对称，点B P 关于y 轴的对称点分别是点 C 、 Q. BP=AP=2,P 点的坐标为（-1,0）.⑴分别写出Q 点和C 点的坐标，并指出与厶ABP 关于y 轴对称的三角形；（2）M 为线段CQ 上的点，若以X 轴为旋转轴，旋转△ PAM —周形成的旋转体的全面积为 5._3二, 求线段AM 的长；⑶N 为线段AM 上一动点（与点A M 不重合）,过点N 分别作NHL X 轴于H,NG 丄y 轴于G.求当 矩形OHNG 勺面积最大时 N 点的坐标.几何应用问题几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，几何应用问题的命题内容和形式趋向多样化，但其主要内容仍以全等的应用、相似的应用、解 直角三角考查有关几 何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力•解决这类问题时，应形 的应用为主•题目材料新颖，有很强的实用价值•此类问题的表现形式是：由几何图形的性质通过 计算、推理来说明某种几何设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地结合实际 问题的背景，抽象出几何模型，禾U 用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、 反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想.一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）几何综合 应用问题.（一）三角形在实际问题中的应用例一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成 一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图11-1，图11-2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。