初中数学基本几何图形
这篇帖子是关于几何基本图形的。
每一个几何压轴题，几乎都是由几个基本图形构成的，所以如果能把这些图形 用熟，做几何题应该不成问题。
1、 正方形与等腰直角三角形
正方形 ABCD ，EF 为过正方形点 B 的直线且 AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，则有△AEB ≌△BFC 。
将上图进行转换，则该基本图形存在于等腰三角形中，可利用此图证明勾股定理：
1 1 令 AD=BE=a ，DB=CE=b ，AB=BC=c ，S △ABC =
2 c = 2 （a+b ） -ab ；化简得到：c =a +b
2、 梯形中位线
梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为 AB 、DC 中点，则有 EF=
1
（AD+BC ）
结合 1、2 有一道经典题目，在此奉上。
1 △ABC ，分别以 AB 、AC 为边向外做正方形 ABFG 、ACDE ，连接 FD ，取 FD 中点 H ，作 HI ⊥BC ，证明：HI= BC
2 2
2 2 2 2 2
提示:先证明BC等于梯形上下底边之和
【变形题
1】
如图1，以△A BC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证
明．说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明，选取①比原题少得6分，选取②比原题少得8分．
①如图2，将正方形ACDE绕点A旋转，使点C、E分别落在AG、AB上；
②如图3，将正方形ACDE绕点A旋转，使点B、A、C在一条直线．
答案：
解：BC⊥MN．
证明：连接CM，然后延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长CD，与BF相交于I，
∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，
∴△CMD ≌△HMF ， ∴AC=HF=CD ， ∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF ， ∴∠HGF=∠DCM ，∠GHF=∠IGC ， ∠BIC=∠IGC+∠DCM ， ∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB ， ∴△ABC ≌△FBH ，
∵四边形 ABIC 中∠ABI=∠ACI=90°， ∴∠HBF=∠ABC ，
∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°， ∴BC ⊥BH ，
∵N 是 BC 中点，M 是 HC 中点， ∴MN ∥BH ， ∴
BC ⊥MN ．
延长 CM 至 H ，使 CM=MH ，连接 FH 、BH 、CM 、BM ，延长 CD ，与 BF 相交于 I ，根据
MF=MD ，CM=HM ，∠CMD=∠HMF ，可以证明∠BAC=∠HFB ，即可证明△ABC ≌△FBH ，于是证明得 ∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，故知 BC ⊥BH ，又因为 N 是 BC 中点，M 是 HC 中点，可得 MN‖BH ，于是证明出 BC ⊥MN ．
【变形题 2】
如图（1），在 Rt △ABC, ∠ACB=90°,分别以 AB 、BC 为一边向外作正方形 ABFG 、BCED ，连结 AD 、CF ，AD 与 CF 交于点 M 。
（1）求证：△ABD ≌△FBC ；
（2）如图（2），已知 AD=6，求四边形 AFDC 的面积；
（3）在△ABC 中，设 BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，当∠ACB ≠90°时，c ≠a ＋b 。
在任意△ABC 中，
c ＝a ＋b ＋k 。
就 a ＝3，b ＝2 的情形，探究 k 的取值范围（只需写出你得到的结论即可）。
2 2 2 2 2 2 分析：
【变形题3】
已知：如图所示，从Rt△ABC 的两直角边AB，AC 向外作正方形ABFG 及ACDE，CF，BD 分别交AB，AC 于P，Q.求证：AP=AQ .
3、角平分线出等腰。
AD平分∠BAC，且BD∥AC，则BA=BD，此图形常出现于菱形中，若有AB=AC，则连接CD后有菱形BACD。
4、双垂图。
补充一句，上一图可用于证明角分线定理。
5、一线三等角相似
AB=AC，∠ADE=∠B，则△ABD∽△DCE
6、正方形中两垂直线段。
正方形ABCD中，AF⊥DE，则有AF=DE；平移AF、DE进行推广，在正方形ABCD中，MN⊥PQ，则有MN=PQ
、直角三角形斜边中线。
AB⊥AC，D为BC中点，则AD=BD=CD，该图可从矩形中挖出，也可从圆中找到图形。
8、直角三角形共圆
9、等腰三角形线段关系
11、常见旋转型2。
12、常见旋转型3
13、四边形共圆
四边形共圆 2
一线三角模型的特殊形式。
一道经典例题
补充：一线三角相等模型中，∠B=∠C=∠ADE=n°，则∠ADB+∠EDC=180-n°，∠DEC+∠EDC=180-n°所以，
∠ADB=∠DEC，又因为∠B=∠C，所以△ADB相似于△DEC，所以AD/DE=BD/CE。
当点D为中点时，BD=DC，则AD/DE=DC/CE，又因为∠C=∠ADE，所以△ADE相似于△DEC。
证毕
双等边三角形（正方形）模型
上一楼图形的性质
性质1：通过证全等可知左图中，BD=AE，右图中，BE=DF
性质2：证全等后，做双高可知左图中，CF平分∠BFE，右图中，CH平分∠BHF
性质3：左图中，BD和AE相交所构成的其中的一个角为60°，右图中，BE和DF垂直，当扩展到正n边形时，
两线相交所构成的其中的一个角等于这个正n边形的各个内角。
北京中考经典好题。