导数及其应用
导数的运算
1. 几种常见的函数导数：
①、c '= （c 为常数）； ②、n (x
)'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .
2. 求导数的四则运算法则：
()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2'''
≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'∙'=' 或 '
∙'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义）
导数几何意义：
0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y
f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21
x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --=
2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ．
变式一：
3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12
- 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方
程是 ( )
A .21y x =-
B .y x =
C .32y x =-
D .23y x =-+
变式二：
5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .
6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则
1299a a a +++的值为 .
7.已知点P 在曲线y =
41
x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A 、[0,4
π) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ 变式三： 8. 已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )
A .1
B . 2
C .－1
D .－2
9.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+
-都相切，则a 等于
( ) A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64
D ．74-或7 10.若曲线1
2y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =
A 、64
B 、32
C 、16
D 、8
11.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .
12. 设1()(0)x x f x ae b a ae
=++>. （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；
（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32
y x =
；求,a b 的值. 二、求单调性或单调区间
1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(x f y =在某个区间D 内可导，
如果)(x f '＞0，则)(x f y =在区间D 上为增函数；
如果)(x f '＜0，则)(x f y =在区间D 上为减函数；
如果)(x f '=0恒成立，则)(x f y =在区间D 上为常数.
2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(x f '＞0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的增区间；不等式)(x f '＜0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的减区间.
1、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( )
A . )2,(-∞
B .(0,3)
C .(1,4)
D . ),2(+∞
2.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .
3.已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x
=-+->，讨论()f x 的单调性.
4.已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈
(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；
(2)当23
a ≠
时，求函数()f x 的单调区间与极值.
三、求函数的极值与最值
1、极值的判别方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，
① 如果在0x 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，那么)(0x f 是极大值；
② 如果在0x 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0，那么)(0x f 是极小值.
也就是说0x 是极值点的充分条件为0x 点两侧导数异号，而不是)(x f '=0.
2、最值的求法：求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1) 求 f (x ) 在区间 (a ，b ) 内的极值(极大值或极小值)；
(2) 将 y = f (x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a )、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.
1.设函数()x f x xe =，则（ ）
A . 1x =为()f x 的极大值点
B .1x =为()f x 的极小值点
C . 1x =-为()f x 的极大值点
D . 1x =-为()f x 的极小值点[学
2.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.
3.设13()ln 1,22f x a x x x =+
++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的极值.。