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2012年高中毕业班质量检查
数 学 试 题（理）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷填写学校、班
级、学号、；
2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间
120分钟。
参考公式：
线性回归方程系数公式：1221ˆˆˆ,n i i i n i i x y nx y b a
y bx x nx
==-===-∑∑ 第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题所给出的四个答案中有且
只有一个答案是正确的。
1．已知集合2{0,},{1,2}A m B ==，那么“1m =-”是“{1}A
B =”的
（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．如图，已知幂函数a y x =的图象过点(2,4)P ，则图中阴影部
分的面积等于
（ ）
A ．165
B ．83
C ．43
D ．23
3．已知1tan 47πα⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，则tan α= （ ）
A ．65-
B ．1-
C ．34-
D ．65
4．执行右边的程序框图，输出S 的值等于
（ ） A ．10
B ．6
C ．3
D ．2
5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为7，据此模型，若广告费用为10元，则预报销售额等于
（ ）
A ．42.0元
B ．57.0元
C ．66.5元
D ．73.5元
6．如图，O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是
（ ）
A ．A 1D
B ．AA 1
C ．A 1
D 1 D ．A 1C 1
7．已知函数(]
23,[1,2]()3,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则方程()1f x =的解是（ ）
A 2或2
B 2或3
C 2或4
D ．2±或4
8．设01(1)n n n x a a x a x +=+++，若1263n a a a +++=，则展开式中系数最大的项
是（ ）
A ．215x
B ．320x
C ．321x
D ．2
35x 9．已知F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆 C 的离心率等于
（ ） A ．53 B ．23 C ．22 D ．12
10．如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得
88cos108AC =-︒，乙同学在Rt ACH ∆中解得1cos72AC =
︒，据此 可得cos72︒的值所在区间为 （ ） A ．（0.1,0.2） B ．（0.2,0.3）
C ．（0.3,0.4）
D ．（0.4,0.5）
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．已知R α∈，若11ai i
+-为纯虚数，则a 的值等于 。
12．已知实数x ，y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2y x +的最小值等于 。
13．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和n S 满足224k k S S +-=，则
k= 。
14．如图ABC ∆中，AD=2DB ，1,2
AE EC BE =与CD 相交于点P ， 若(,)AP xAB y AC x y R =+∈，则x y += 。
15．记函数()f x 的导数为(1)(1)(),()f
x f x 的导数为(2)(1)(),,()n f x f x -的 导数为()*()()n f x n N ∈。
若()f x 可进行n 次求导，则()f x 均可近似表示为： (1)(2)(3)()23(0)(0)(0)(0)()(0)1!2!3!!
n n f f f f f x f x x x x n ≈+++++ 若取n=4，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e ≈ （用分数表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球实验，每次摸出一个球，如果摸出
白球，则从袋外另取一个红球替换．．
该白球放入袋中，继续做下一次摸球实验；如果摸出红球，则结束摸球试验。
（1）求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2；
（2）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.E ξ
17．（本小题满分13分）
如图，A 为双曲线22
:1M x y -=的右顶点，平面上的动点P 到点A 的距离与到直线:1l x =-的距离相等。
（1）求动点P 的轨迹N 的方程； （2）已知双曲线M 的两条渐近线分别与轨迹N 交于点B ，C （异于原点）。
试问双曲线
M 上是否存在一点D ，满足2
.DB DC DA ⋅=若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由。
18．（本小题满分13分）
如图，从山脚下P 处经过山腰N 到山顶M 拉一条电缆，其中PN 的长为a 米，NM 的边
长为2a 米，在P 处测得M ，N 的仰角为45,30︒︒，在N 处测得M 的仰角为30.︒
（1）求此山的高度；
（2）试求平面PMN 与水平面所成角的余弦值。
19．（本小题满分13分）
设函数()sin 3cos ()f x m x x m R =+∈，试分别解答下列两小题。
（1）若函数()f x 的图象与直线y n =（n 为常数）相邻两个交点的横坐标为112x π
=，
2712x π=
，求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间；
（2）当m =ABC ∆中，满足()f A =BC=1，若E 为BC 中点，试求AE 的最大值。
20．（本小题满分14分）
已知函数()ln(1)()f x x kx k R =+-∈
（I ）若()f x 的最大值为0，求k 的值；
（II ）已知数列*111{}1,ln(1)()2n n n n a a a a a n N +==+-
∈满足 （i ）求证：1232n a a a a ++++<；
（ii ）是否存在*,(0,1]n n N a ∈∉使得，若不存在，请给予证明；若存在，请求出
n 。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，
如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵0101,1010M N -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（I ）求矩阵MN ；
（II ）若点P （0，1）在矩阵MN 对应的线性变换作用下得到点P ′，求P ′的坐标。
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程是()21x t t y t =⎧⎨=+⎩
为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=
（I ）求圆C 的直角坐标方程；
（II ）求圆心C 到直线l 的距离。
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-
（I ）解不等式式()2f x >；
（II ）求函数()(5)y f x f x =-++的最小值。