第 7 讲 换元法（高中版）（第课时）换元法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧三角代换均值代换整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化用途 重点：1．；2．；3．。
难点：1．；2．；3．；。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。
换元的关键是构造元和设元。
换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。
换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。
换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。
换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。
整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进行换元。
例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
又如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。
均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或S y x =+22 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t Sy +=22等等。
1．换元法在方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。
然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。
对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。
例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 2224=++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。
分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。
令 t x =2，则原方程化为：0sin cos 222=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。
由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧>>->-=∆)4(0sin )3(0cos )2(0sin 4cos 4222θθθθ即 ⎪⎩⎪⎨⎧≠<>0sin 0cos 02cos θθθ解之得 452432ππθππ+<<+k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ2．换元法在不等式中的应用例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2log 241()a a +＋2x log 221aa +＋log 2()a a +1422>0恒成立，求a 的取值范围。
分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221aa +、log 2()a a +1422 三项有何联系？对它们进行变形后再实施换元法。
解： 设 log 221aa +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221a a +＝3－t ，log 2()a a +1422＝2log 2a a+12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，∴ 3048302->=+-<⎧⎨⎩t t t t ∆() ，解之得 t t t <<>⎧⎨⎩306或 ， ∴ t<0 即 log 221a a +<0 ，0<21aa +<1 ，解之得 0<a<1 。
点评：本题使用换元法解不等式。
在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。
3．换元法在函数中的应用例.（高一）已知f(x+1)为奇函数，f （x ）=x·（x+1），（x<1）求x>1时函数f （x ）的解析式。
解：令x=t+1（t<0），∵ f(x)=x （x+1） （x<1） ，∴ f(t+1)=（t+1）（t+2） ， 又f(x+1)为奇函数，故f(t+1)也为奇函数， ∴ -f （t+1）=f （-t+1），f （-t+1）=-（-t-1）（-t-2）， 令T=-t ，（T>0），则f(T+1）=-（T-1）(T-2)， ∴ )3)(2()(---=T T T f ， ∴ f(x)= -（x-2）(x-3)=-x2+5x-6，（x>1） 。
点评：本题使用换元法求函数解析式。
4．换元法在数列中的应用例.（高三）已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n +1·a n ＝a n +1－a n ，求数列通项a n 。
解：已知式变形为11a n +－1a n ＝－1 ,设 b n ＝1a n，则}{n b 为等差数列， ∴ b 1＝－1 ,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ， ∴ a n ＝－1n。
5．换元法在复数中的应用对于涉及模及多变元的复数问题，基于运算方面的考虑，可以利用换元法简解。
6．换元法在三角中的应用例.（高一）设a>0，求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx ·cosx －2a 2的最大值和最小值。
解： 设sinx ＋cosx ＝t ，则t ∈[-2,2]，由 (sinx ＋cosx)2＝1＋2sinx ·cosx 得 sinx ·cosx ＝t 212- ，∴ f(x)＝g(t)＝－12(t －2a)2＋12（a>0） t ∈[-2,2]，当 t ＝-2 时， g(t)取最小值 －2a 2－22a －12。
当 2a ≥2 时，t ＝2，f(x)取最大值 －2a 2＋22a －12；当 0<2a ≤2 时，t ＝2a ，f(x)取最大值 12。
∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－12，最大值为122222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪aa a a。
点评：换元设 sinx＋cosx＝t 后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例.（高一）△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1cos A＋1cos C＝－2cos B，求cos A C-2的值。
分析：由已知 A＋C＝2B 和“三角形内角和等于180°”，可得A CB+=⎧⎨⎩12060°＝°，对 A＋C＝120°进行均值换元，设AC＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩，再代入可求cosα即cosA C-2。
解法一：∵ A＋C＝2B 且 A＋B+C＝180°，∴A CB+=⎧⎨⎩12060°＝°,设AC＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩，代入已知等式得：1cos A＋1cos C＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sinαα-＋11232cos sinαα+＝coscos sinααα143422-＝coscosαα234-＝－22,解之得 cosα＝22，即 cosA C-2＝22。
解法二：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
∴1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22，设1cos A＝－2＋m ，1cos C＝－2－m ，∴ cosA＝12-+m，cosC＝12--m，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2cos A C+2cosA C-2＝cosA C-2＝2222m-，cosA－cosC＝－2sin A C+2sinA C-2＝－3sinA C-2＝222mm-，即 sin A C-2＝－2322mm()-，cosA C-2＝－2222m-，代入 sin2A C-2＋cos2A C-2＝1 整理得 3m4－16m－12＝0 ,解之得 m2＝6 ，代入cos A C-2＝2222m-得 cosA C-2＝22。
点评：本题两种解法由“A＋C＝120°”、“1cos A＋1cos C＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
∴1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22，即cosA＋cosC＝－22cosAcosC ，和积互化得 2cos A C+2cosA C-2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C) ，即cos A C-2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos2A C-2－1) ，整理得 42cos2A C-2＋2cosA C-2－32＝0 ,解之得 cos A C-2＝22。
7．换元法在解析几何中的应用例.（高三）实数x、y满足()x-192＋()y+1162＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
分析：由已知条件()x-192＋()y+1162＝1 ，可以发现它与a2＋b2＝1有相似之处，于是实施三角代换。
解：由()x-192＋()y+1162＝1 ，设x-13＝cosθ，y+14＝sinθ，即xy=+=-+⎧⎨⎩1314cossinθθ，代入不等式 x＋y－k>0 得 3cosθ＋4sinθ－k>0 ，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) ，所以k<-5时不等式恒成立。