1、掌握空间距离公式并会应用 它解决简单的距离问题;
2、掌握空间中点坐标公式并会 简单应用。
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
d
c
a
b
d a2 b2 c2
在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到
点P(x0z，y0，z0)的距离，怎么求？
d O
y 0
x
P z0
x0
d
y
x02 y02 z02
解: 因为 P 在 x轴上，设P点坐标为( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面
在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到
点xOy平面的距离，怎么求？
z
O x
zP
y
x
d xOy z
y d yOz x d xOz y
在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到 坐标轴的距离，怎么求？
z
dPOຫໍສະໝຸດ z0yx0
0
x
d x y02 z02 y d y x02 z02
dz x02 y02
d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
二、空间中点坐标公式：
在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和
点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x
y
z
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
x3 y3 z3
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长；
Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3 2
2
2
3 0 2 3 y2 3
2
2z
3 0 2 1 y2
2
2z
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
y z
4 2
或z
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
【总一总★成竹在胸】
一、空间两点间的距离公式：
d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
y
z
x1 y1 z1
x2
2 y2
解: AB 1 22 5 32 2 42 3
BC 2 32 3 12 4 52 6 AC 1 32 5 12 2 52 29
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，
B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:
(2)BC边上中线AM的长。
解:
x 1 23 3
2
y 531 9 22
z 2 4 5 11
2
2
M
3,
9 2
,
11 2
AC 1 32 5 9 2 2 112 66
2 2 2
例2:求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解: M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
一、空间两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，点P(x1，y1，z1) 和点Q(x2，y2，z2)的距离公式:
M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例3:设P在x轴上，它到 P1(0, 2,3) 的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P的坐标。
2 z2
2
x3 y3 z3