A
a, b, c
分别是是AB,
AD,
AA方向上的单位向量，
且有
AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c，如何用向量
a, b, c
表示向量
AC
？
AC x a y b z c
特2
设
e1,
e2
,
e3为有公共起点
O
的三个两两垂
直的单位向量（称为单位正交基底），
以
e1,
e2
, e3的公共起点
O
为原点，分别以
e1, e2 , e3
空间向量的正交分解及其坐标表示
人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）选修2-1：3.1.4
复习旧知，引入新课
平面向量基本定理
如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量
a
，有且只有一对实数
1 ,
2
，使
a
1
e1
2
e2
。
（
e1, e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
有AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c
，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量 AC？
AC x a y b z c
空间向量基本定理
如果三个向量a, b, c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在
唯一
有序实数组x, y, z，使得
p xa y b z c
。
a, b, c
叫做空间的一组基底，a,
b,
c
都叫做基向量。
表示
OP
和
OQ
。
谢谢各位老师！
平面向量的基本定理可以推广到空间中吗？
问题情境，探究新知
探究
如图，有一平行六面体ABCD ABCD， 如何
用向量
AB,
AD,
AA
表示向量
AC
？
AC AC AA
= AB AD + AA
变式1
如图，有一平行六面AB体CDABACBDCDABCD， 设向量
A
a,
b,
c
分别是是
AB,
AD,
AA方 向上的向量，且
的方向为
x
轴、y 轴、z
轴的正方
向建立空间直角坐标系O xyz，那么对于
空间中的任意一个向量
p
，一定可以把
它平移，使它的起点与原点O重合，得
到
OP
=
p
，由空间向量基本定理，存在
有序实数组x, y, z，使得
。
p x e1 y e2 z e3
把 x, y, z称作向量
p在单位正交基
e1, e2 , e3下的坐标，记作
p x, y, z
当向量的起点在坐标原点时，空间向量与有序 实数组之间有一一对应关系
空间向量
p
e1
,
e2
,e3
为基底
一一对应
有序实数组
x, y,z
p x e1 y e2 z e3
课后思考，应用新知
如右图，M , N 分别是四面体OABC 的边 OA, BC
的中点，P,Q 是 MN 的三等分点。用向量OA、OB、OC
任意三个不共面的非零向量都可以作为空间向量的基底。
变式2
如图，有一长方体AABBCCDDAABBCCDD， 设向量
A
a,
b, c
分别是是AB,
AD,
AA
方向上的向量，且
有AB
x
a,
AD
yb,AA来自zc，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量
AC
？
AC x a y b z c
特1
在空间直角坐标系
O
xyz
中，如果i ,
j,
k
是空间中的三个两两垂直的向量（称
为正交基底），那么对于空间中的向
量任一向量
p
OP，设点
C
为点
P
在
i,
j
所确定的平面上的正投影，存在有序
实数组 x, y, z，使得 p x i y j z k 。
x
i,
y
j,
z
k
为向量
p
在i ,
j,
k上的分向量。
变式3
如图，有一长方体 AABBCCDDAABBCCDD， 设向量