《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。
它将数与形紧密地结合起来。
这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。
（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。
（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。
（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。
（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题。
本课的难点是：建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标，把空间向量运算的坐标公式运用到立体几何问题中。
二、学生情况本课的学习对象高二学生，他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理，有了一些基础，本节内容学生应该容易接受，但真正要用空间向量运算的坐标表示去解决具体的立体几何问题还有些难度。
三、教法和学法分析 根据教材的特点和学生的实际情况，本节课采用“启发探究”式的教学方法： 从教材内容来看，空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学，从空间向量的坐标运算问题提出到空间直角坐标系的建立，从向量坐标的确定到向量坐标运算规律的探索、证明和记忆都与平面向量作类比，让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量的推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程。
从学生的特点确立引导——探索结合的学习方法。
考虑到我教的学生基础还是比较薄弱，如果放手学生自主探索，学生会无从下手，采用教师引导学生探索，引导学生思考，这样既可以避免学生无从下手，又可以让学生积极思考。
把引导探索、交流探讨等活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。
遵循“学为主体”的教育思想，做到学与练紧密结合。
本课运用多媒体展示，三角板直观教具的演示，课堂讨论，合作学习等形式，通过比较分析、实践让学生能更好地理解空间向量运算的坐标表示，并能运用其去解决简单的立体几何问题。
四、教学过程（一）、复习引入：平面向量的坐标运算：设12121122(,),(,),(,),(,)a a a b b b A x y B x y ==，则(1)1122(,)a b a b a b +=++ 1122(,)a b a b a b -=--12(,)()a a a R λλλλ=∈ 1122a b a b a b ⋅=+(2)//(0)a b b a b λ≠⇔=即1122,a b a b λλ==a b ⊥⇔ 0a b ⋅=⇔11220a b a b += (3) 21||a a a =+ 2121(,)AB OB OA x x y y =-=--||(AB d AB x == 21cos ,||||a b a b a b a ⋅==+（注意：,[0,]a b π∈） 师生活动[教师]提出问题。
[学生]思考、并回答。
[教师]在学生回答的基础上补充、总结，并利用多媒体展示设计意图复习平面向量运算坐标表示，为本节课奠定基础。
（二）、新授：空间向量运算的坐标表示：设123123111222(,,),(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b A x y z B x y z ==，则(1)112233(,,)a b a b a b a b +=+++ 112233(,,)a b a b a b a b -=---123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ 122233a b a b a b a b ⋅=++问题：上述法则怎样证明呢？以b a ⋅为例进行证明（将k a j a i a a 321++=和k b j b i b b 321++=代入即可）(2)//(0)a b a b b λ⇔=≠即112233,,a b a b a b λλλ===a b ⊥⇔ 0a b ⋅=⇔1122330a b a b a b ++=(3) 21||a a a =+ 212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=--- 21||()AB d AB x x ==-+21cos ,||||a b a b a b a ⋅==+,[0,]a b π∈） 师生活动[教师]提出问题：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ [学生]思考、看课本，并尝试回答。
[教师]多媒体展示并讲授，板演推导过程，强调成立条件。
设计意图 培养学生自学能力和类比的方法。
（三）应用举例 例1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求直线1BE 与1DF 所成角的余弦值。
师生活动[教师]提出问题：如何运用空间向量运算坐标公式解决问题[学生]交流、讨论、思考，并尝试找出办法。
[教师]分析：选择适当的坐标系后，建系求点坐标，向量坐标，根据夹角公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值。
多媒体展示并讲授。
解：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ,DC ,1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，)1,41,0(),0,0,0(),1,43,1(),0,1,1(11F D E B )1,41,0()0,1,1()1,43,1(1-=-=∴BE )1,41,0()0,0,0()1,41,0(1=-=DF 161511)4141(0011=⨯+⨯-+⨯=⋅DF BE 4171=BE 4171=DF 17154174171615,111111=⋅=⋅⋅>=<DF BE DF BE DF BE COS 因此，直线1BE 与1DF 所成角的余弦值是1715.设计意图培养学生思考问题和解决问题的能力。
师生活动[教师]提出问题：异面直线上对应向量的夹角与异面直线所成角相等吗？为什么？有何关系？[学生]交流、讨论、思考，尝试作答。
[教师]结论：不一定相等，可能相等或互补。
则111111,cos DF BE DF BE DF BE COS ⋅⋅=><=θ[教师]利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤都有哪些？[学生]共同讨论，总结[教师]利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤：（1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点）（2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化）（3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论） 设计意图通过问题，引导学生体会解题思路的形成过程并能养成思考的习惯。
例2如右图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证EF DA 1。
师生活动[教师]让学生读题并提出思考：如何将所求证问题转化为向量问题处理？[学生]进一步思考并回答。
[教师]引导学生根据正方形的特殊性，写出相关点及向量的坐标，套用向量运算坐标公式解决此问题。
[学生]根据思路完成该题。
证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA ，DC ，1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则E （1,1，21），F （21，21，1），所以)21,21,21(EF --=。
又A 1（1,0,1），D （0,0,0），所以DA 1（1,0,1），所以0)1,0,1(212121DA EF 1=⋅--=⋅），，（ 因此EF 1DA ，即EF DA 1.[教师]评价总结：应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题，可使复杂线面关系的论证变得程序化，简单化。
设计意图提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。
（四）课堂练习：如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB的中点，求1DB 与CM 所成的角的余弦值。
师生活动[教师]将题目用多媒体投影，布置学生练习。
[学生]通过立体的学习，尽量独立完成。
[教师]在学生完成后，在多媒体上演示解题过程，让学生对比自己的解题过程。
解：设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz ，)0,21,1(),0,1,0(),1,1,1(),0,0,0(1M C B D )1,1,1()0,0,0()1,1,1(1=-=∴DB )0,21,1()0,1,0()0,21,1(-=-=CM31=DB 25=CM2101)21(1111=⨯+-⨯+⨯=⋅DB151525321,1=⋅=>=<CMDB DB COS 因此，直线1DB 与CM 所成的角的余弦值是1515。
设计意图让学生及时巩固所学方法，培养学生独立分析解决问题的能力。
（五）课堂小结1.知识:（1）空间向量运算的坐标表示；（2）利用空间向量运算坐标表示解决简单的立体几何问题。
2.方法:（1）类比（2）数形结合师生活动学生总结，老师补充设计意图培养学生总结的习惯，巩固所学（六）布置作业教材第97页 练习题2、3五、板书设计六、教学效果设计及反思本节课从教材内容考虑，通过学习我们要达到两个要求：一、掌握空间向量运算的坐标表示；二、会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题。
由于空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，用类比的方法探究学习空间向量运算坐标公式，学生接受起来很容易，甚至通过互相讨论就可以得到运算公式。