第3章控制系统的时域分析法本章介绍了根据系统的时间响应去分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差的有关问题。

其主要内容有：（1）自动控制系统的时域分析法，根据控制系统在典型输入信号的作用下输出响应的时域数学表达式和响应曲线，直接分析系统等系统的稳定性、动态性能和稳态误差的品质。

时域分析法具有直观、准确的优点。

（2）稳定性是系统能否正常工作的首要条件。

系统的稳定性取决于系统自身的结构和参数，与外作用的大小和形式无关。

线性系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于左半s 平面（即系统的特征根全部具有负实部）。

劳斯稳定判据是从系统的闭环特征方程，间接判定系统的稳定性的。

（3）对于稳定的控制系统，工程上常用单位阶跃响应的最大超调量σ%，调节时间t s 和稳态误差等性能指标，评价系统性能的优劣。

典型的一阶、二阶系统的性能指标与系统的参数有严格的对应关系，必须牢固掌握。

对一阶、二阶系统分析的结果，往往是分析高阶系统的基础。

当高阶系统具有一对闭环主导极点时（通常是一对共轭复数极点），可以用一个二阶系统近似，并以此估算高阶系统的动态性能。

（4）系统的稳态误差不是系统自身的固有特性，它与系统的结构参数及输入信号的形式都有关。

系统的型别ν决定了系统对典型输入信号的跟踪能力。

提高系统的型别和增大开环放大系数可以减小或消除系统的稳态误差。

但这和稳定性有矛盾。

在要求高的场合可用复合控制。

教材习题同步解析3.1系统结构图如图3.1所示。

已知传递函数12.010)(+=s s G ，现采用加负反馈的方法，将调节时间st 减小为原来的1/10，并保证总放大倍数不变。

试确定参数h K 和0K 的数值。

解：加负反馈后，系统闭环传递函数为：000()()1()10/(0.21)10/(110)110/(0.21)0.2/(110)1hh h h K G s s G s K K s K K K s s K Φ=+++==++++化为标准的时间常数表达式010110()0.21110hhK K s sK +Φ=++而典型的一阶系统传递函数为()1K s Ts Φ=+因此，欲将调节时间s t 减小为原来的1/10，则反馈系统的时间常数T 应该为原来的1/10。

原系统的时间常数为0.2s ，而反馈系统的时间常数为0.2110hK +，故有0.20.211010h K =+h K =0.9由于保证总放大倍数不变，则有1010110hK K K ==+所以100=K 。

3.2某单位负反馈系统的开环传递函数为()(0.11)K K G s s s =+试分别求出10K =s –1和20=K s –1时，系统的阻尼比ξ和无阻尼自然振荡角频率n ω，及单位阶跃响应的超调量%σ和调节时间s t 。

并讨论K 的大小对过渡过程性能指标的影响。

解：系统闭环传递函数为2210()0.11010K Ks s s K s s KΦ==++++二阶系统标准的零极点表达式为222()2nn ns s s ωξωωΦ=++，闭环传递系数K =1比较可得，系统的性能参数为n ω=ξ=且有5n ζω=，说明K 值的大小对系统的快速性影响较小。

（1）当K =10时，系统闭环传递函数为：2100()10100s s s Φ=++系统的性能参数为ξ=0.5，n ω=10系统相关动态性能指标为%100%25.7%eσ−=×=（错）30.6(5%)s nt s ζω==∆=（2）当K=20时闭环传递函数为：2200()10200s s s Φ=++系统的性能参数为n ω=210，42=ξ系统相关动态性能指标为%100%35.4%e σ−=×=（错）s t ns 6.0%)5(3==∆=ζω由以上分析可见，增大系统开环传递系数K ，将增大系统超调量，使系统振荡加剧，对系统的动态性能不利。

3.3设图3.2为某控制系统的结构图，试确定参数1K 和2K ，使系统的6=n ω，1=ξ。

解：系统有一条前向通道，两个反馈回路，彼此间相互接触，因此，根据梅逊公式，该控制系统的闭环传递函数为11121212125(0.8)()25251(0.8)0.825(250.8)25K s s s K K K s s s K s K K s K +Φ=++++=+++与标准的二阶系统零极点表达式222()2nn ns s s ωξωωΦ=++，闭环传递系数K =1比较，并将6=n ω，1=ξ代入，可得1262250.812n n K K ωωξ===+=联立以上方程，得待定参数为1K =36/25214/45K =3.4如图3.3所示，若某系统加入速度负反馈s τ，为使系统阻尼比5.0=ξ，试确定（1）τ的取值；（2）系统的动态性能指标%σ和s t 。

解：（1）该控制系统的闭环传递函数为21010(1)()105(15)101(1)1s s s s s s s s ττ+Φ==+++++++与二阶系统标准的零极点表达式比较，可得)51(2τξω+=n并考虑到：n ω=，5.0=ξ，所以10.4325τ==（2）系统的动态性能指标如下%100%25.7%e σ−==3(5%) 1.9s nt s ζω=∆==3.5实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3.4所示。

试确定该系统的开环传递函数()K G s 。

解：由图3.4所示，可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为0.21.251%100%100%25%1p t e σ−==−==×=联立以上方程可得：=ξ0.515，n ω=18.33并由于系统的单位阶跃响应稳态值为1，说明系统的闭环传递系数K =1，故求得系统闭环传递函数为2222335()218.88335n n n K s s s s s ωξωωΦ==++++系统为单位负反馈结构，因此有()()1()K K G s s G s Φ=+推出系统开环传递函数如下222()335()1()2s 18.88n K n s G s s s s sωξωΦ===−Φ++3.6已知某系统的闭环传递函数为)1)(6.2)(10()5.2(10)()()(2+++++==Φs s s s s s R s C s 试估算该系统的动态性能指标%σ和s t 。

解：将系统化为等效的时间常数表达式212.5(1)() 2.5()() 2.6(1)(1)(1)10 2.6s C s s s s R s s s +Φ==++++该系统有4个闭环极点，一个闭环零点，分别为123,40.1, 2.6,0.50.866s s s j −=−−=−−=−±，1 2.5z −=−。

从闭环系统零极点分布可见：系统的闭环零点1z −与闭环极点2s −作用基本相抵消；而极点1s −相比3,4s −离虚轴较远，所决定的动态分量衰减速度较快，对系统的动态响应过程影响较弱。

因此，该闭环系统的主导极点为共轭复数极点对3,4s −，在研究系统的动态响应时，忽略其他非主导零极点的影响，该系统可以近似为典型二阶系统22() 2.50.96()() 2.6(1)1C s s R s s s s s Φ=≈=++++则该系统单位阶跃响应的稳态值为0.96，而动态性能指标可估算为10.5n ωξ==25.66%%100%21=×=−−ζπζσe 36(5%)s nt s ζω==∆=根据MATLAB 仿真，得到此高阶系统准确的动态性能指标为%13%σ=5. 6(5%)s t s=∆=说明估算结果是比较可信的。

3.7已知单位负反馈系统的开环传递函数为（1）20()(1)(5)K G s s s s =++（2）10(1)()(1)(5)K s G s s s s +=−+（3）0.1(2)()(0.5)(0.8)(3)K s G s s s s s +=+++（4）351()(1)(2)K s G s s s s +=++试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。

解：（1）系统闭环传函为：205620)(23+++=Φs s s s 闭环特征方程为：205623+++s s s =0，列劳斯表如下s 315由于劳斯表的第一列系数均大于零，故该系统稳定。

也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论，如下：三阶系统特征方程为0012233=+++a s a s a s a ，则系统稳定的充分必要条件为：3a 、2a 、1a 、0a 均大于0及1230a a a a >。

对于本系统有：特征方程所有系数均大于零，且65120×>×，因此系统稳定。

（2）系统闭环传函为：10541010)(23++++=Φs s s s s 系统闭环特征方程为：105423+++s s s =0，因此3a 、2a 、1a 、0a 均大于0，且45110×>×，故该系统稳定。

（3）闭环传函为：)2(1.0)3)(8.0)(5.0()2(1.0)(++++++=Φs s s s s s s 系统闭环特征方程为：4324.3 4.3 1.30.2s s s s ++++=0，列劳斯表如下：s 41 4.30.2s 3 4.31.3s 2 4.3 4.3 1.344.3×−=2.03.42.03.4=×s 14 1.3 4.30.21.084×−×=s 00.2由于劳斯表的第一列系数全部大于零，故该系统是稳定。

（4）系统闭环传函为：152315)(345+++++=Φs s s s s s 系统闭环特征方程为1523345++++s s s s =0因为特征方程缺相（缺2s ），故该系统不稳定。

3.8试用劳斯判据判定具有下列特征方程式的系统的稳定性。

若系统不稳定，指出在s 平面右半部的特s 2620s 165201563×−×=s 020征根的数目。

（1）010092023=+++s s s （2）020092023=+++s s s （3）0133234=++++s s s s （4）012442345=+++++s s s s s （5）016345323456=++++++s s s s s s 解：（1）010092023=+++s s s 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为s 319s 220100s 12091001420×−×=s 0100由于劳斯表的第一列系数全部大于零，无s 右半平面的闭环极点，故该系统稳定。

（2）020092023=+++s s s 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为s 319s 220200s 12092001120×−×=−s 0200劳斯表的第一列元素符号改变的次数为2，所以该系统不稳定，并有两个在s 平面右半部的特征根（3）0133234=++++s s s s 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为s 4111s 333s21330(0)3ε×−=>1s 1330εε−<s 01劳斯表第一列系数中出现0，用一个很小的正数ε来代替它，然后继续计算其它元素。