相平面法例题解析：
要求：
1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是e e -之间关系的方程（或c c -）。
会画相轨迹（模型中是给具体数的）。
※※关键是确定开关线方程。
2. ※※※如果发生自持振荡，计算振幅和周期。
注意相平面法一般应：
1）按照信号流向与传输关系。
线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。
连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有c 或者e 的运动方程。
2）※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。
开关线方程确定很关键。
3）※※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t 法）不同线性分区对应的相轨迹方程，即c c -和e e -之间关系。
4）※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。
例2
问题1. 用相平面法分析系统在输入r (t ) = 4.1(t )时的运动情况。
问题2. 如果发生自持振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。
解：问题1：1）设系统结构图，死区特性的表达式：
0,||2
2,22,2x e x e e x e e =≤⎧⎪
=->⎨⎪=+<-⎩
2）线性部分：
2
()1
()C s X s s =，则微分方程为：c x = 3）绘制e e -平面相轨迹图。
因为e r c =-，c r e =-，c r e =-，c r e =-。
代入则
e x r =-+ （1）
当0t >，0r =，0r =。
代入，则各区的运动方程0,
||2I 2,2II 2,2III e e e e e e e e =≤--⎧⎪
=->---⎨⎪=--<----⎩
由于非线性特性有3个分区，相平面e
e -分为3个线性区。
注意，当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性。
4） 系统开关线：2e =±。
5） 由题意知初始条件(0)(0)(0)4e r c =-=，(0)(0)(0)0e r c =-=在II 区，则从
初始值出发绘制相轨迹：
【注】：用解析法中的斜率法求：上课时按照此方法求相轨迹方程： II 区： e e-20 += ------不是标准线性系统运动方程的形式。
根据斜率方程2e de e
de e e
-==
，则分离变量积分得 40(2)e e e de ede -=⎰⎰ 则e
e -之间的相轨迹方程为 22
(2)4e e -+= 结论：II 区以20奇点（，）为中心的圆，与右开关线2e =的交点A （2，-2） I 区：0e =，2e ==-常数，水平线，与左开关线2e =-的交点B （-2，-2） III 区：e e 20 ++= ------不是标准线性系统运动方程的形式。
根据斜率方程2
de e e e d e
e --=
=，则分离变量积分得 2
2
(2)e
e
e de ede ---+=⎰
⎰（注意新的初始值B （-2，-2））
则e
e -之间的相轨迹方程为 2
2
(2)4e e ++= 结论：III 区以20奇点（-，）
为中心的圆。
以此例推，出现了一个封闭椭圆。
——极限环
问题2：
若相平面中出现了稳定的极限环——对应着非线性的自持振荡。
问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如图： 这是个椭圆，1）周期：4()CA AD T t t =+
II 区：2244
1CA t de e e d ==-⎰⎰，
这是因为： 2
2
(2)4e e +-=→ 4(e =--，注意， e 在图中为负的。
I 区： 002211
12
AD t de de e ==-=⎰⎰
振幅——代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小——即C 点的横坐标。
这是因为，对于整个非线性系统的奇点是（0，0 ）。
对于该点，最大的位移就是振幅，因此是C 点的横坐标4。
例3：具有继电器特性的非线性系统分析 2006-B (15分)非线性控制系统如图。
e
问题1：给出起点在02c =，00c =的c c -相轨迹图。
(10分) 问题2：计算相轨迹旋转一周所需时间。
(5分)
解：问题1：(10分)
1）非线性环节数学表达式：0||12
121e x e e ≤⎧⎪
=>⎨⎪-<-⎩
；
2）线性部分：
2()1
()C s X s s
=所以描述线性部分的微分方程为：c x = 则0||12
121c e c e c e =≤⎧⎪
=>⎨⎪=-<-⎩
3）绘制c c -平面相轨迹。
e r c =-，令0r =，e c =-，
则各区的运动方程0||1I 21
II 21III c c c c c c =≤⎧⎪
=->⎨⎪=<-⎩
注意：条件方程也要改成c c -的。
4）开关线方程：1c =±
5）由已知条件，起点02c =，0c 0=，)0,2(从II 区开始，下面绘制相轨迹： 【注】：用解析法中消去参变量时间t 的方法求相轨迹方程：上课时按照此方法求的，以下同。
当然如果用斜率法求相轨迹方程也可以。
不过，这个例子c 为常数，消去参变量时间t 的方法更适合。
Ⅱ区：
2c =-，则022c t c t =-+=-；22002c t c t c t =-++=-+；
相轨迹为开口向左的抛物线，22
20
00.250.250.252c c c c c =-++=-+； 在右开关线1c =处的交点为01c =1 , 210.252c =-+ 012c =----(1,-2)
Ⅰ区：0c =，则012c c ==-；010121c c t c t =-+=-+；相轨迹为平行横轴的直线（因
为纵坐标不变-2，而横坐标虽时间变化）；
在左开关线处的交点为02c =-1 , 022c =----(-1,-2)
Ⅲ区： 02222c t c t =+=-；22020221c t c t c t t =++=--；
22
202020.250.250.252c c c c c =-+=-----相轨迹为开口向右的抛物线，
在开关线处的交点 (-1, 2)以此类推，求得如图的极限环。
注意: 每个区的初始值是不同的。
当进入II 区时的第一个位置即为II 的初始值， 每个区的初始值的求法就是根据上一个区的区域根轨迹方程可以求出进入下一区的初始值，以此一个个区经过后，会变成一个连续的曲线轨迹——非线性系统的相轨迹。
问题2：运动一周所需时间为
1
010********()4()62T dc
dc dc c c =+=+=--⎰
⎰⎰⎰（因为II 区20.252c c =-+,则c =，注意，c 在图中为负的。
）
注意: 并不是所有开关线都是垂直于横轴的，开关线关键要看各个线性区域的边界条件。
例4 ：2008年 非线性控制系统如下图所示。
图中()21()r t t =⋅。
1、以c c -为相变量，写出相轨迹分区运动方程（8分）； 2、若M =0.5，画出起始于(0)0c =、(0)0c =的相轨迹（4分）； 3、利用相轨迹计算稳态误差及超调量（3分）。
b
解： 1. 1）非线性特性：00M
c b M
c ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩
2） 线性部分： c e b =- （1）
注意：线性部分关键是产生c 的运动方程，但是更关键的是，此运动方程必须能与非线
性特性的输出产生关系。
3）绘制以c c -平面的相轨迹。
因此，e r c =-代入式（1）中，则 则 c r c b =--即运动方程为
0c c b r -++=
因为()21()r t t =⋅，则 20c b c +-+=（2）
式（2）中代入非线性特性，于是
各区的运动方程：
2020c r c M c c M
c c r c M c c M
c ⎧=--⇒+=->⎪⎨
=-+⇒+=+<⎪⎩ M =0.5，则各区的运动方程：
1.50,0
2.50,0
c c c c c c +-=>⎧⎨+-=<⎩ 5）开关线方程：0c =
2. 绘制相轨迹：
起点为（0，0）在I 区。
I 区： 1.5
dc c dc c
-=-，积分分离后00( 1.5)c c c dc cdc -+=⎰⎰则 222
( 1.5) 1.5c c -+=， 相轨迹为奇点为 1.5c =，0c =的圆。
与开关线交于3c =，0c =的点
II 区： 2.5
dc c dc c
-=-，积分分离后30( 2.5)c c c dc cdc -+=⎰⎰，则222( 2.5)0.5c c -+=，相轨迹为奇点为 2.5c =，0c =的圆。
则相轨迹如图：
3. 稳态误差：()()ss e r c =∞-∞=2-2=0
超调量： 32
%=50%2
σ-=
可见：开关线不一定垂直于或者平行于横轴，见本章的作业P477 8-7 。
I 区 II 区 I 区
II 区。