10、试证明下列都就是 Rn 上的范数
n
(1)
x 1
xi ;
i 1
1
(2)
x 2
n i1
证:略。
13.(1)若度量空间 R 中的序列{xn} 就是收敛的,并且有极限 x ,试 证明{xn}的每个子序列{xnk }都就是收敛的,并且有同一极限。
(2) 若 {xn} 就 是 Cauchy 序 列 , 并 且 存 在 收 敛 的 子 序 列 , {xnk } xnk x ,试证明{xn}也就是收敛的,并且有同一极限。
9、试问在 C[a,b] 上的 B(x0;1) 就是什么？
C[a,b]上图像以 x0 为中心铅直高为 2 的开带中的连续函数的集
泛函分析习题标准答案
合。
10、试考虑C[0,2 ] 并确定使得 y B(x, r) 的最小 r ,其中 x sin t, y cost 。
(x, y) sup sin t cos t sup 2 sin(t ) 2
度量。
证:(1)仅证明三角不等式。注意到
x
y
xz
z
y
xz
1 2
z
y
1 2
2
故有
x
y
1 2
xz
1 2
z
y
1 2
(2)仅证明三角不等式 易证函数 x x 在 R 上就是单调增加的,
1 x
所 以 有 aba b , 从 而 有
ab
ab
a
b
1 a b 1 a b 1 a 1 b
令 x, y, z R ,令 a z x,b y z
max 1,
2
证:仅证三角不等式。(1)略。
(2) 设 x (x1, x2 ) , y ( y1, y2 ) R1 R2 ,则
1
(x, y) [12 (x1, y1) 22 (x2, y2 )]2
1
12 (x1, z1) 12 (z1, y1)2 22 (x2, z2 ) 22 (z2, y2 )2 2
即 yx zx yz
1 y x 1 z x 1 y z
4、试证明在
C 1 a, b上,
( x,
y)
b
a
x(t)
y(t)
dt
(2.3.12)
定义了度量。
证:(1) (x, y) 0 x(t) y(t) 0 (因为 x,y 就是连续函数)
(x, y) 0 及 (x, y) ( y, x) 显然成立。
xi
2
n
n
xi 2
i1
i 1
证: n
xi
2
n
n
n
xi 2 12 n
xi 2
i1
i 1
i 1
i 1
8、试证明下列各式都在度量空间 R1, 1 与 R1, R2 的 Descartes 积
R R1 R2 上定义了度量
(1)
1
2 ; (2)~
( 12
2 2
)1
/
2
;
(3)
~~
t[0,2 ]
t[0,2 ]
4
泛函分析习题标准答案
11.试证明在离散度量空间中,每个子集既就是开的又就是闭的。
设 A 就是离散度量空间 X 的任一子集。 a A ,开球 B(a, 1) {a} A ,故 A 事开集。
2
同样道理,知 AC 就是开的,故 A (AC )C 又就是闭集。
12.设 x0 就是 M R 的聚点,试证明 x0 的任何邻域都含有 M 的无限 多个点。
34、若 X 就是紧度量空间,并且 M X 就是闭的,试证明 M 也就是 紧的。
证明:因为 X 就是紧的,故 M 中任一序列 xn 有一个在 X n 中收敛 的子序列xnk。不妨设xnk x X ,则有 x M 。又因 M 就是闭的,
所以 xM ,因此 M 就是紧的。 第三章 线性空间与赋范线性空间
（1） 略
（2） , N ,当 m, nk N 时,有
(xm , xnkl )
2
, (xnkl , x)
2
( {xn } 就是
Cauchy
序列且 xnk
x)
因此,当 m N 时,
( xm ,
x)
( xm ,
xnkl
)
( xnkl
,
x)
2
2
泛函分析习题标准答案
18、试证明:Cauchy 序列就是有界的、
泛函分析习题标准答案
b
(2) (x, y) a x(t) y(t) dt
b a x(t) z(t) dt z(t) y(t) dt
b
b
a x(t) z(t) dt a z(t) y(t) dt
(x, z) (z, y)
5、试由 Cauchy-Schwarz 不等式证明
n
证:根据三角不等式,有 n xn , yn xn , xm xm , ym ym , yn xn , xm m y Nhomakorabea , yn
故, n m xn, xm ym, yn 同样有: m n xn, xm ym, yn 即: n m xn, xm ym, yn 0 而 R 就是完备的,则n 就是收敛的。
1
1
12 (x1,
z1 )
12 (z1,
y1) 2
22 (x2 ,
z2 )
2 2
(
z2
,
y2 ) 2
(x, z) (z, y)
n i 1
i
i
2
1
2
n i 1
i2
1
2
n
i2
i 1
1
2
(3) (x, y) max{1 (x1, y1), 2 (x2, y2)}
max{1 (x1, z1) 1 (z1, y1), 2 (x2 , z2 ) 2 (x2 , z2 )} max[1 (x1, z1) 1 (z1, y1)] max[2 (x2 , z2 ) 2 (x2 , z2 )] (x, z) (z, y)
证明:若xn 就是 Cauchy 序列,则存在 ,使得对于一切 n n0 ,有
xn, xn0 1,因此,对于一切 n ,有
xn , xn0 max 1, x1, xn0 ,..., xn01, xn0
19、若xn与yn 都就是度量空间 x 中的 Cauchy 列,试证明: n xn, yn 就是收敛的。
泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间
作业题答案提示
1、 试问在 R 上, x, y x y2 能定义度量不？
答:不能,因为三角不等式不成立。如取
则有 x, y 4 ,而 x, z 1, z, x 1
2、
试证明:(1) x, y
x
y
1 2
;(2)
x,
y
x y
在 R 上都定义了
1 x y