f ( x ) g ( x )dx M


g ( x ) dx q ，
q

1
1 1 1 ，证明 f Lp () 并且 ‖f‖ M. Lp ( ) p q
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试题编号
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5． （15 分）设 X 为紧的度量空间，证明在 X 上存在 Borel 测度 使得对 X 上的任何非负连 续函数 f ，并且 f 0 ，有
Ax, x x ，
其中 , 表示 H 中的内积，证明对任何 y H ，方程
2
Ax y
有唯一的解. 4． （15 分）设 为 n 中的有界开集， f 为 上的 Lebesgue 可测函数，并且存在 M 0 ， 使得对 上的任何有界连续函数 g ，有

其中 1 q ，

X
f d 0 .
6． （15 分）设 (, , ) 为正测度空间，如果存在一列可测子集 {En } 使得当 n m 时，
En Em ，并且 0 ( En ) ，证明 Banach 空间 L1 (, ) 不是自反的.
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p

证明：⑴ f Lp (, ) ； ⑵ lim
p
x | f n ( x )| M
f n ( x ) dx .
p
n

f n ( x ) f ( x ) d 0 .
3． （20 分）设 H 为 Hilbert 空间， A : H H 为有界线性算子，并且存在 0 使得对任 何 x H ，有

2． （20 分）设 (, ) 为正测度空间， () ，再设 { f n } L (, ), 1 p ，满 足如下条件： （i）存在 上的可测函数 f 使得 { f n } 在 上几乎处处收敛于 f ； （ii）对任意 0 ，存在 M 0 ，使得对任何 n 有
南京大学 2015 年博士学 数 学 满分： 分
注意：①所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效； ②本科目不允许使用计算器。 1． （15 分）求
lim (1 cos n x ) x 3dx .
n