极值点偏移的问题（含答案）21212()ln ,(1()1121()()3(),,f x x ax a f x x x a a f m f mf x x x x x e =-==⋅1.已知为常数）（）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（）当时，试比较与的大小；（）有两个零点证明：＞21212()ln (),,.f x x ax f x x x x x e =-⋅变式：已知函数，a 为常数。

(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，试证明：＞2012120()+sin,(0,1);2()()()()(),2.xf x x ax x f x a a f x f x f x f x x x x π=+∈=+2.已知（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）当=-2时，记取得极小值为若求证＞()2121212121()ln -,()2(1=()()()(1)(),,0,f x x ax x a R f f x g x f x ax g x a x x f x f x x x x x =+∈-++=+≥3.已知（1）若）0，求函数的最大值；（2）令=-,求函数的单调区间；（3）若=-2,正实数满足（）证明：212122(1)1(1)1,,x x x x x e -+>>4.设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-证明：当时，g(x)>0恒成立；（2）若函数f(x)无零点，求实数a 的取值范围；（3）若函数f(x)有两个相异零点x 求证：x1212312()2ln ,1()2(),8f x x a a x a R f x f x x x x x a x x a =--∈<⋅<5.已知常数。

（）求的单调区间；（）有两个零点，且；(i)指出的取值范围，并说明理由；（ii)求证：6.设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且12x x <．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围.（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数，则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x xf +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<．（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）． 于是122e x x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x x a x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， 即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --=7.已知函数()()xf x xc x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +> （Ⅰ）解：f ’'()(1)xx f x e -=- 令f ’(x)=0,解得x=1当x 变化时，f ’(x)，f(x)的变化情况如下表所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e-令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xx F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=-1-1e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

（2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而)1f(x >)2f(2-x .因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2.8. 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-= （12分） （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）设a ＞0，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数y= f (x )的图像与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<09. 已知函数21()1xx f x e x -=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

]1)1[(11111)()(2222x e x xe e x x e x x xf x f x xx x ---+=++-+-=----。

1)21()('0,1)1()(22--=⇒>---=x x e x x g x x e x x g 令。

,04)21()('1)21()(222<-=-=⇒--=x x x xe e x x h e x x h 令0)0()(0)(=<⇒∞+=⇒h x h x h y ）上单调递减，在（ 0)0()(0)(=<⇒∞+=⇒g x g x g y ）上单调递减，在（.000]1)1[(122==∞+---+=⇒-y x x e x xe y x x时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(x f x f x f x f -<⇒<--⇒.0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当10.已知函数2()ln f x a x x =-.（1）当2a =时，求函数()y f x =在1[,2]2上的最大值；（2）令()()g x f x ax =+，若()y g x =在区间(0,3)上不单调，求a 的取值范围；（3）当2a =时，函数()()h x f x mx =-的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A xB x ，且120x x <<，又()h x '是()h x 的导函数.若正常数,αβ满足条件1,αββα+=≥.证明：12()0h x x αβ'+<解（1） ,2222)(2'x x x x x f -=-=函数)(x f y =在[21,1]是增函数，在[1,2]是减函数，……………3分所以111ln 2)1()(2max -=-==f x f ． ……4分 （2）因为ax x x a x g +-=2ln )(，所以a x xax g +-='2)(， ……5分 因为)(x g 在区间)3,0(上不单调，所以0)(='x g 在（0，3）上有实数解，且无重根，由0)(='x g ，有122+=x x a =)29,0(4)111(2∈-+++x x ，（)3,0(∈x ） ……6分又当8-=a 时，0)(='x g 有重根2-=x ， ……7分 综上∈a )29,0( ……8分 （3）∵m x xx h --=22)('，又0)(=-mx x f 有两个实根21,x x ， ∴⎩⎨⎧=--=--0ln 20ln 222221211mx x x mx x x ，两式相减，得)()()ln (ln 221222121x x m x x x x -=---， ∴)()ln (ln 2212121x x x x x x m +---=, ……10分于是)()ln (ln 2)(22)(212121212121'x x x x x x x x x x x x h ++---+-+=+βαβαβα))(12()ln (ln 2212212121x x x x x x x x --+---+=αβα． ……11分0))(12(,12,12≤--∴≤∴≥x x αααβ ．要证：0)(21'<+x x h βα，只需证：0)ln (ln 22212121<---+x x x x x x βα只需证：0ln 212121>-+-x xx x x x βα．(*) ……12分令)1,0(21∈=t x x ，∴(*)化为 0ln 1<++-t t t βα，只证01ln )(<+-+=βαt t t t u 即可． ()u t 在（0，1）上单调递增，01ln ,0)1()(<+-+∴=<βαt tt u t u ，即0ln 2121<++-x x t x x βα．∴0)(21'<+x x h βα．……14分。