f (1)
1 ，如图 e
要证 x1 x2 2 ，即证 x2 2 x1 ，不妨设 x1 x2 ，则 0 x1 1 x2
x2 2 x1 1，又 f (x) 在 1， 上递减，则只需证
f (x2 ) f (2 x1)
又 f (x2 ) f (x1) ，则等价证 f (x1) f (2 x1) ，证明如下：
等价，例 1 的四种方法全都可以用；
思路 2：也可以利用参数 a 这个媒介去构造出新的函数.解答如下：
因为函数
f
(x)
有两个零点
x1,
x2
，所以
xx21
ae x1 ae x2
(1) (2)
，由 (1)
(2)
得：
x1
x2
a(e x1
e x2
)
，
要证明 x1 x2
2 ，只要证明 a(ex1
ex2 ) 2 ，由 (1) (2) 得： x1 x2
e2
．
解法二 变换函数能妙解
极值点偏移专题
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证法 2：欲证 x1x2 e2 ，需证 ln x1 ln x2 2 ．若 f x 有两个极值点 x1 ，x2 ，即函数 f x 有两个零点．又 f x ln x mx ，所以， x1 ， x2 是方程 f x 0 的两个不同实根．显然 m 0 ，否则，函数 f x 为
设 g(x) f (x) f (2 x)，x 0,1 则 g(x) f (x) f (2 x)
g
(
x)
1 ex
x
1 e2x2
，又 x 0,1，则 g(x) 0 ，则 g(x)在0,1递增
g(x) g(1) 0 ，则 g(x) 0 得证，则 x1 x2 2
点评：构造函数的目的就是为了消参，将双变量转化为单变量处理，利用构造函数求最值证明不
故要证： x1 x2 2 ，等价于证明： f (2 x2 ) f (x1) 0 ，
又∵ f (2 x2 ) x2e2x2 a(x2 1)2 ，且 f (x2 ) (x2 2)ex2 a(x2 1)2 0
∴ f (2 x2 ) x2e2x2 (x2 2)ex2 ，令函数 g(x) xe2x (x 2)ex , (x (1, )) ，由单调性可证，此处略.
所以 F (x) 0 ，因此原不等式 x1 x2 2 获证.
【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 x1, x2 的基础上，又多了一个参数，故思路很
自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，
构造出一个变元的新的函数。
2.已知
f
x
x ln
x
【解析】由 f (x) (x 2)ex a(x 1)2 ，得 f (x) (x 1)(ex 2a) ，可知 f (x) 在 (,1) 上单调递减，在
(1, ) 上单调递增.要使函数 y f (x) 有两个零点 x1, x2 ，则必须 a 0 . 法一：构造部分对称函数 不妨设 x1 x2 ，由单调性知 x1 (,1), x2 (1, ) ，所以 2 x2 (,1) ，又∵ f (x) 在 (,1) 单调递减，
解法四：引入变量，消元构造函数
解：
f (x2 )
f
(
x1
)
，则
x1 e x1
x2 e x2
，则 e x1x2
x2 x1
①，不妨设 x2
x1 ，则 x2
1 x1 0
令t
x2
x1 ，则 t
0, x2
t
x1 代入①有 et
t
x1 x1
，解得
x1
et
t
1
，则
x1
x2
2x1
t
2t et
1
t
要证 x1
等式恒成立
解法二：对数均值不等式法
解：
f (x2 )
f
(
x1
)
，则
x1 e x1
x2 e x2
，则 e x1x2
x2 x1
①，对①式两边取 e 为底的对数则有 x2 x1 ln x2 ln x1
由对数均值不等式有
x1
x2 2
x1 x2 ln x1 ln x2
1，则 x1
x2
2 ，对数均值不等式证明如下:要证：
法二：参变分离再构造差量函数
x1 e x1
x2 e x2
，则 e x1x2
x2 x1
①，对①式两边取 e 为底的对数则有 x2
x1
ln x2
ln x1
x1 x2
x1
x2
ln
x2 x2
ln x1 x1
x1 x2 ln
x2 x1
x2 x1
1 x2 x1
x2 x1
1
ln
x2 x1
（整体法销元）
不妨设 x1
x2 ，则 t
1 2
mx2
x
，mR
．若
f
x 有两个极值点
x1 ，
x2
，且
x1
x2
，求证：
x1x2
e2
解
法一：齐次构造通解偏移套路
证法 1：欲证 x1x2 e2 ，需证 ln x1 ln x2 2 ．
若 f x 有两个极值点 x1 ， x2 ，即函数 f x 有两个零点．又 f x ln x mx ，所以， x1 ， x2 是方程 f x 0 的两个不同实根．
0，
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再次换元令 et x 1,
t
ln
x
，即证
ln
x
2(x 1) x 1
0
x (1, )
构造新函数
F
(x)
ln
x
2(x 1) x 1
，
F
(1)
0
求导 F ' (x)
1 x
4 (x 1)2
(x 1)2 x(x 1)2
0 ，得 F(x) 在 (1,) 递增，
证法
3：由
x1
，
x2
是方程
f
x
0
的两个不同实根得
m
ln x x
，令
g
x
ln x x
，
g
x1
g
x2
，由于
g
x
1
ln x2
x
，因此，
g
x
在
1,
e
，
e,
．
设1
x1
e
x2 ，需证明 x1x2
e2 ，只需证明 x1
e2 x2
0, e ，只需证明
f
x1
f
e2
x2
，即
f
x2
f
e2
x2
，即
0 ，故
f
x
f
2 m
x
．
由于
f
x
1 x
m
1 mx x
，故
f
x
在
0,
1 m
，
1 m
,
．
设 x1
1 m
x2 ，令 x
x1 ，则
f x2
f x1
f
2 m
x1
，
又因为
x2 ，
2 m
x1
1 m
,
，
f
x
在
1 m
,
，故有
x2
2 m
x1
，即
x1
x2
2 m
．原命题得证．
解法三 构造函数现实力
0 恒成立
g(x) 在 1,上递增，则 g(x) g(1) 0 ，则对数均值不等式得证，则 x1 x2 2 成立
点评：①构造对数均值不等式的结构；②证对数均值不等式注意消元，肖元时用到了整体法
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解法三：直接构造函数消元
解：
f (x2 )
f
(
x1
)
，则
a(ex1
ex2 ) ，即 a
x1 x2 ex1 ex2
，
即证：
( x1
x2
)
e x1 e x1
ex2 ex2
2
( x1
x2
)
e x1 x2 e x1x2
1 1
2
，不妨设
x1
x2
，记
t
x1 x2 ，则 t
0, et
1，
因此只要证明： t
et et
1 1
2
t
2(et 1) et 1
单调函数，不符合题意．
由
ln ln
x1 mx1 0 x2 mx2 0
ln
x1
ln
x2
m x1
x2
，即只需证明 m x1
x2
2
即可．即只需证明
x1
x2
2 m
．
设 gx
f x
f
2 m
x
x
0,
1 m
，
g
x
2mx 12 x 2 mx
0
，故
g
x
在
0,
1 m
，即
gx
g
1 m
1
，
t2
k ek
1
．欲证
x1x2
e2
，需证 ln
x1
ln
x2
2 ．即只需证明 t1
t2
2，
即
k
1 ek
ek 1
2
k
1
ek
2 ek