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极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移）
极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路）
极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节）
极值点偏移（3）——变更结论（操作细节）
极值点偏移（4）——比值代换（解题方法）
极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）
极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归）
极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例
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极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节）
例4 已知函数()e x f x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ．
（1）求a 的取值范围；
（2）求证：1202x x x +<； （3）求证：122x x +>； （4）求证：121x x <．
解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上，()f x 至多有一个
零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上，在()ln ,a +∞上
，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．
（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：
()e e 0e x x x
f x ax ax a x =-=⇔=⇔=，记函数()e x
g x x =，则有()()12g x g x a ==． 求导得()()2e 1x x g x x
-'=，则1是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>；顺带地，也可证（4）中结论121x x <．
（i ）()g x 在(),0∞上，在()0,1上，在()1,+∞上；()g x 与x 的符号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +→时，()g x →+∞时，()g x →+∞，()g x 的图像如下：
由()()12g x g x a ==不妨设1201x x <<<．
（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则
()()()
()()()
()()2222222e 1e 12e e 12x x x x G x g x g x x x x x x x x --'''=+---=+-⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
， （4）（i ）同上；
（ii ）构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则
()()()()()
1122222111e 1e 111e e 1x x
x x G x g x g x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭
-=-⋅ 当01x <<时，10x -<，但因式1
e e x x x -的符号不容易看出，引进辅助函数()1e e x x x x ϕ=-，则()11
e 1e x x x x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭
，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭
； （iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上，故21
1x x <，121x x <． 点评：虽然做出来了，但判定因式()
222e e 2x x
x x ---及1e e x x x -的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．
再次回到题设条件：
()()0e e ln ln ln ln x f x ax a x a x x x a =⇔=>⇔=+⇔-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再解（3）、（4）两问．
（3）（i ）()11h x x '=-
，得()h x 在()0,1上，在()1,+∞上，有极小值()11h =，又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，故()h x 的图像如下：
由()()12h x h x =不妨设1201x x <<<．
（ii ）构造函数()()()2H x h x h x =--，则
()()()
()2111121112H x h x h x x x x x x '''=+-=-+--⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭
当01x <<时，10x -<，1102x x ->-，则()0H x '<，得()H x 在()0,1上，有()()10H x H >=，即
()()()
201h x h x x >-<<点评：用函数()ln h x x x =-来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．
注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=．
注2：在第（ii ）步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小，以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为
()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，被迫分为两类：
①若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；
②当()1,2x ∈时，类似于原解答．
而给字()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．
思考：练习1（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数ln x y x =
来做212e x x >，用函数ln y x ax =-来做122x x a
+>．
练习2 （安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知()ln()f x x m mx =+-
（1） 求()f x 的单调区间
（2） 设1m >, 1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证120x x +<
提示：将()0f x =，两边取对数转化为指数方程处理。

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这或许是史上最全的极值点偏移系列文章
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1、极值点偏移问题专题一——偏移新花样—拐点偏移PK极值点偏移常规套路
2、极值点偏移问题专题二——如何选择合理的函数
3、极值点偏移问题专题三——变更结论处理偏移
4、极值点偏移问题专题四——比值代换齐次消元
5、极值点偏移问题专题五——对数平均显神威
6、极值点偏移问题专题六——本质回归泰勒展开
7、极值点偏移问题专题七——历年精选一题多解23例
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