1 第十五章 网络拓扑和电路方程的矩阵形式 第一节 网络的拓扑图 一、网络的图：1、拓扑图： 在电路的分析中，不管电路元件的性质差别，只注意连接方式即网络拓扑的问题。若将每一条支路用一条线段（线段的长短、曲直不限）来表示，就组成拓扑图。如图15-1-1(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-2(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-3(a)对应电路在低频下的拓扑图为(b)。

此拓扑图是连通图。

(b)是互感电路的分离图。

(b)是在低频下的拓扑图，是分离图，包括自环（自回路）、悬支、孤立结点。 2

2、有向图：如果标以支路电压、电流的（关联）参考方向，即成有向图。 3、子图：如果图G1的所有结点和支路是图G的结点和支路，则G1是G的子图。子图可以有很多。 第二节 树、割集 一、树： 1、定义：连通图G的树T是G的一个子图。（1）它是连同的。（2）包括G中的所有结点。（3）不包含任何回路。树是连接图中所有结点但不包含回路的最少的支路集合。同一拓扑图可以有不同的树。对于一个有n个结点的全连通图可以选择出nn-2种不同的树。 2、树支和连支：当树确定后，凡是图G的支路又属于T的，称为树支，其它是连支。树支数T=n-1；连支数L=b-(n-1)。 二、割集： 定义：对连通图来说，割集C是一组支路的集合，如果把C的全部支路移去，将使原来的连通图分成两个分离部分，但在C的全部支路中，只要少移去一条支路，剩下的拓扑图仍是连通的。因此割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合。 三、独立回路组的确定： 可以通过树确定一组独立回路，称为单连支回路组。如图15-2-1。

选择支路1、2、3、7为树支，4、5、6、8为连支，则单连支回路组为： {1、2、4}，{2、3、5}，{2、3、6、7}，{1、3、7、8}。 又称为单连支回路组。

四、独立割集组的确定： 可以通过树确定一组独立割集，称为单树支割集组。如图15-2-2。

选择支路1、2、3、7为树支，4、5、6、8为连支，则单树支割集组为： {1、4、8}，{2、4、5、6}，{3、5、6、8}，{6、7、8}。 又称为单树支割集组。 第三节 关联矩阵、回路矩阵、 3

割集矩阵 有向拓扑图的结构可以用关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵来描述。 一、 关联矩阵： １、 关联矩阵的描述：描述支路与结点之间的关联情况。对于n个结点b条支路的电路，用n* b阶矩阵或（n-1）* b阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个结点，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：

以15-3-1为例。其矩阵形式为：

其特点为：每一列只有两个非零元素，且一“＋”、一“－”。因此可以划去一行（此行对应的结点称为参考结点，如第四行）称为降阶关联矩阵，用Ａ表示（以后，如果无特殊说明均指A）。则：

关联矩阵和拓扑图之间为一一对应的关系。

２、ＫＣＬ的矩阵形式： 3、支路电压与结点电压关系的矩阵形式：

二、回路矩阵（基本回路矩阵）： １、（基本）回路矩阵描述：描述支路与回路之间的关联情况。对于n个结点b条支路的电路，用[b-(n-1)]* b阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个独立回路，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：







不关联）与结点（支路）的参考方向指向结点相关联，支路与结点（支路）的参考方向离开结点相关联，支路与结点（支路ij0ijij1ijij1aij

称为全结点关联矩阵。

则：关联矩阵：







100101010110101010011001

Aa

是支路电流列相量。其中bbi0iA

是支路电压列相量。是结点电压列相量，其中bnnTbuuuAu







010110101010011001A 4

以15-3-２为例： 可以任意选择一组独立回路。但通常选择单连支回路作为独立回路。称为基本回路组即单连支回路组。 以支路4、5、6为树支，1、2、3为连支。则基本回路矩阵为：

可见，Bf中包含一个L阶的单位子矩阵，原因是：支路编号时先连支后树支（或先树支后连支）；基本回路编号顺序与连支先后顺序号一致；回路正方向与连支正方向一致。 与关联矩阵不同。基本回路矩阵不能唯一确定一个拓扑图的形状。 2、ＫVＬ的矩阵形式：

3、支路电流与回路电流关系的矩阵形式：

三、割集矩阵（基本割集矩阵）： １、（基本）割集矩阵描述：描述支路与割集之间的关联情况。对于n个结点b条支路的电路，用 (n-1) * b阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个独立割集，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：

以15-3-3为例： 可以任意选择一组独立割集。但通常选择单树支割集作为独立割集。称为基本割集组即单树支割集组。 以支路4、5、6为树支，1、2、3为连支。则基本割集矩阵为：







不关联）与回路（支路方向相反）的参考方向与回路参考相关联，支路与回路（支路方向一致）的参考方向与回路参考相关联，支路与回路（支路ij0jij1jij1bij







111100011010101001Bf

tLB1

是支路电压列相量。其中bbfu0uB

是回路电流列相量。其中LLTfbiiBi







不关联）与割集（支路方向相反）的参考方向与割集参考相关联，支路与割集（支路方向一致）的参考方向与割集参考相关联，支路与割集（支路ij0jij1jij1qij 5 

电流源列相量。为独立为独立电压源列相量。为支路电压列相量。下为对角线阵。互感、无受控源的情况为支路导纳矩阵，在无为支路电流列相量。其中为：、电流关系的矩阵形式条支路，则各支路电压如果电路中含有S.S...S.S...SK.SK.K.KK.IUUYI

I}UU{YIbI)UU(YI

可见，Qf中包含一个L阶的单位子矩阵，原因是：支路编号时先连支后树支（或先树支后连支）；基本割集编号顺序与树支顺序号一致；割集正方向与树支正方向一致。

与关联矩阵不同。基本割集矩阵不能唯一确定一个拓扑图的形状。 ２、ＫＣＬ的矩阵形式：

3、支路电压与结点电压关系的矩阵形式：

对于连通图G，若选择相同的支路顺序，则关联矩阵、回路矩阵之间满足： 若选择连通图的同一个树，则基本回路矩阵和基本割集矩阵之间满足： 证明略。 第四节 结点电压方程的矩阵形式 一、复合支路（以正弦交流为例）：又称一般支路，典型支路。如图15-4-1。

阻抗ZK只能是电阻、感抗、容抗之一而不能是它们的组合。 二、特性方程及结点电压方程的矩阵形式：分三种情况讨论。 1、无受控源、无互感。







100101010110001111Qf

tLB1

0iQbf

是割集电压列相量。其中ttTfbuuQu

之间的关系：四、ffQBA

0AB0BA0AB0BATfTfTT或或或

TtLTffT

ffBQ0QB0BQ即或

流。条支路受控电流源的电为第流。条支路理想电流源的电为第压。条支路理想电压源的电为第条支路的阻抗。为第条支路的电压、电流。为第、其中kIkIkUkZkIUdK.SK.SK.KK

.K. 6

为了得到结点电压方程的矩阵形式，利用KCL的矩阵形式和支路电压与结点电压之间的关系，可得：

通过例题说明结点电压方程的列写过程和方程的物理意义。 【例15-1】按步骤写出图15-1（a）结点电压方程的矩阵形式。

【解】电路的有向图如（b）。以结点④为参考结点。关联矩阵A为：

路电压、支路电流。得结点电压、进而求支的逆矩阵存在，则可求若，称为结点导纳矩阵。其中nnTS.S.n.TYYAYAUYAIAUAYA











011010100011001101A