第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a jk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；a jk= 0，表示结点j与支路k不关联；②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；b jk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；b jk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；q jk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；q jk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。
u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。
★对于回路关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i = B T i l；i =[i i i2i3……i b]T。
i l=[i l i i l2i l3……i ll]T基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u2u3……u b]T。
★对于割集关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =Q f T u t；u =[u i u2u3……u b]T。
u t=[u t i u t2u t3……u t(n-1)]T。
④三种矩阵之间的关系（略）2. 三种分析方法的方程的矩阵形式①回路电流方程的矩阵形式（略）②割集电压方程的矩阵形式（略）③结点电压方程的矩阵形式基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。
u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：第一步：建立复合支路：由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。
为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。
复合支路即第k 条支路如下：由基尔霍夫电流定律得：所以：对该式进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴复合支路中无受控源时：由KCL得：变成将代入得：又所以对整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。
同理可以分析一下两种情况⑵复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：⑶复合支路中含有受控源时：都可以推导出第二步：写出A、Y、I S、U S等矩阵；第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：3、典型例题分析【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图（b）是它的有向图。
写出结点电压方程的矩阵形式。
图（a）图（b）解：由图（b）得节点关联矩阵A,节点电压的列向量，支路电流的列向量，支路电压的列向量，支路导纳矩阵，节点导纳矩阵，结点电压方程的矩阵形式为：【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。
图（a）图（b）解：方法 1直观法KVL：KCL ：；消去：；；代入上式：然后整理成矩阵形式（略）。
方法 2系统法选图（b）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支含电感单连支回路的 KVL ：含电容单树支割集的 KCL ：【例题3】：求图所示电路的状态方程。
图解：设u c ,i1，i2为状态变量其中：从以上方程中消去非状态量，得：写成矩阵形式：【例题4】：图所示图G 的关联矩阵A =________________________。
图1 2 3 4 5 6 7 8 9 A =------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥12345111000000000111000000000111100100100010010010 (每错一个元素扣2分，扣完为止)3、典型习题【题1】：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。
【题2】：图所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别为： 答（ ）个，3个； 个，4个； 个，3个； 个，4个。
图【题3】：图所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）图【题4】：图所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）图【题5】：图所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Y b为：答（）图【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为[][][][][][][]=-时，标准支路的形式为图中所Y U A Y U A In n b S S示的：答（）图【题7】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程。
（直接写出无分）图【题8】：按下列步骤列出图所示电路节点电压方程的矩阵形式：1.有向图;（编号按元件参数下标）2.出所需的各矩阵;3.出节点电压方程的矩阵公式;4.出节点电压方程的矩阵形式。
图【题9】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图【题10】：试列出图所示电路的矩阵形式状态方程。
图【题11】：图所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。
求该电路的状态方程。
图【题12】：试建立图所示电路的状态方程。
图【题13】：试建立图所示电路的状态方程。
图【题14】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=3000；C =250F ；L =.。
试建立电路的状态方程。
图【题15】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=30；R 3=10；C =4000F ；L =5mH.。
试建立电路的状态方程。
图第十五章 电路方程的矩阵形式答案题1︒︒︒︒︒()14)5()012356789︒(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分) 题2：（C ）题3：（D ）题4：（C ）题5：（C ）题6：（A ）题7：题8：题9：题10：d ddd d d SititutiiuuC C1212122143121211⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥题11：ddutC1=-+0505..Si iLddutC2=-+022.u iC LdditL=-050512..u uC C题12：题13：题14：ddutC=--+u i uC L1000SdditL=-⨯+250075001075003u i uC L S 题15：。