序号，且以该连支的方向为对应的回路的绕行
方向，Bf中出现一个l阶的单位子矩阵，即
Bf＝[1l|Bt]
(15-4)
式中下标l和t分别表示与连支和树支对应部分。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -10
第十五章 电路方程的矩阵形式 22
例：图15-5a，选支路3、5、6为树支，则1、 2、4为连支，图15-5b示一组单连支回路，可 写成基本回路矩阵形式：
对应于一组线性独立的KCL方程的割集称独立 割集。
现在介绍借助于“树”确定一组独立割集方法。
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15-1 割 集 -4
第十五章 电路方程的矩阵形式 7
单树支割集或基本割集-1
一个连通图，任选一树，与树对应连支集合不能构成 一个割集，每一树支与一些相应连支可构成一个割集。
例：图15-2连通图G，选一树T，树支和连支分别用实 线和虚线表示，把全部连支移去，剩下树仍连通，即 连支集合不能构成一个割集。
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15-1 割 集 -7
第十五章 电路方程的矩阵形式 10
基本割集组
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15-1 割 集 -7
第十五章 电路方程的矩阵形式 11
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
电路图中每一支路赋予参考方向，成为有向图。有向 图拓扑性质可用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。
设一支路连接某两个结点，称该支路与这两个结点相 关联。支路与结点关联性质可用关联矩阵描述。
15-1 割 集 -3
第十五章 电路方程的矩阵形式 6
独立割集
KCL适用于任何一个闭合面，属同一割集所有 支路的电流应满足KCL。
当一个割集所有支路连接在同一结点，如图151点的上QK1、CLQ方2、程Q。3和Q4，则割集KCL方程变为结
对于连通图，总共可列出与割集数相等数目的 KCL方程，但这些方程并非都是线性独立的。
式15-6表明电路中各支路电流可
用与该支路关联的所有回路中的
回路电流表示，这正是回路电流
法的基本思想。
可认为该式是用矩阵B表示的KCL
矩阵形式。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -16
第十五章 电路方程的矩阵形式 28
割集矩阵 -1
设一个割集由某些支路构成，称这些支路与该割集关 联。支路与割集关联性质可用割集矩阵描述。
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回路矩阵-4
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -11
第十五章 电路方程的矩阵形式 23
用矩阵B表示的KVL的矩阵形式-
1
回路矩阵左乘支路电压列向量，乘积是一个l阶列向量。 矩阵B每一行表示每一对应回路与支路关联情况，乘 积列向量中每一元素将等于每一对应回路中各支路电 压代数和，即
KCL的矩阵形式（例）
例：图15-4有
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -4
第十五章 电路方程的矩阵形式 16
用矩阵A表示的KVL矩阵形式-
1
电路中b个支路电压可用b阶列向量表示， 即
u=[ u1 u2 … ub ]T
(n-1)个结点电压可用一(n-1)阶列向量表示， 即
第十五章 电路方程的矩阵形式 25
用矩阵B表示的KCL矩阵形式-
1
l个独立回路电流可用一个l阶列向量 表示，即
il＝[ il1 il2 … ill ]T
由于矩阵B的每一列，也就是矩阵BT 的每一行，表示每一对应支路与回路 的关联情况，所以按矩阵的乘法规则 可知支路电流i：
i＝BTil
(15-6)
矩阵A的某些列将只具有一个+1或一个-1，每 一个这样的列必对应于与划去结点相关联的一 条支路。被划去的行对应结点可当作参考结点。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -2
第十五章 电路方程的矩阵形式 14
矩阵A表示的KCL的矩阵形
式
电路中b个支路电流可用一b阶列向量表示，即
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15-1 割 集 -5
第十五章 电路方程的矩阵形式 8
单树支割集或基本割集-2
另外，树是连接全部结点所需最少支路集合，移去任 一树支如bt，连接T1和T2的那些连支l1、l2、和l3与bt一 起必构成一个割集，因移去后，G将分离为两部分。
同理，每一树支都可与相应一些连支构成割集。 由树的一条树支与相应的一些连支构成的割集称为单
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15-1 割 集 -2
第十五章 电路方程的矩阵形式 5
一般在连通图G上作闭合面判断确定一个割集。
在G上作一闭合面，使其包围G某些结点，把闭合面相 切割所有支路全部移去，G被分离为两部分，这样一 组支路构成一个割集。
图15-1，示出闭合面(用蓝虚线)与割集支路相切割情况。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -14
第十五章 电路方程的矩阵形式 26
用矩阵B表示的KCL矩阵形式-
2
例：图15-5a有
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -15
第十五章 电路方程的矩阵形式 27
用矩阵B表示的KCL矩阵形式-3
i＝BTil
(15-6)
本章介绍电路方程矩阵形式及其系统建立法， 是电路计算机辅助设计和分析所需基本知识。
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15-1 割 集 -0
第十五章 电路方程的矩阵形式 3
割 集 -1
第三章介绍图的定义及有关回路、树等 基本概念。
这里补充介绍割集概念，及与树有关的 基本割集组。
连通图G的一个割集：是G的一个支路集 合，把这些支路移去将使G分离为两个部 分，但如少移去一条支路，图仍连通。
故有
Bu＝0
(15-5)
式15-5是用矩阵B表示的KVL的矩阵形式。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -12
第十五章 电路方程的矩阵形式 24
用矩阵B表示的KVL的矩阵形式-
2
例：图15-5a，选15-5b所示一组独立回路，有
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -13
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回路矩阵-2
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -9
第十五章 电路方程的矩阵形式 21
回路矩阵 -3
如所选独立回路组对应一个树的单连支回路组，
称基本回路矩阵，用Bf表示。
写Bf时，注意其行列次序如下：把l条连支依次 排列在对应于Bf的第1至第l列，然后再排列树支； 取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -6
第十五章 电路方程的矩阵形式 18
用矩阵A表示的KVL矩阵形式-
3
u＝ATun
(15-3)
可见式(15-3)表明：电路中各支路电
压可用与该支路关联的两个结点的结
点电压(参考结点的结点电压为零)表
示，正是结点电压法的基本思想。
可认为该式是用矩阵A表示的KVL矩 阵形式。
仅介绍独立割集矩阵，简称割集矩阵。
设有向图结点数为n，支路数为b，则独立割集数为(n1)。每个割集编号，指定一个割集方向(移去割集所有 支路，G分离为两部分后，从其中一部分指向另一部分 方向，即为割集方向，每一割集只有两个可能方向)。 割集矩阵为一个(n-1)×b矩阵，用Q表示。Q的行对应 割集，列对应支路，任一元素qjk定义如下：
这一特点，Aa中任一行必能从其他(n-1)行导出。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -1
第十五章 电路方程的矩阵形式 13
降阶关联矩阵
如把Aa任一行划去，剩下(n-1)×b矩阵用A表示，
并称降阶关联矩阵(今后主要用降阶关联矩阵， 往往略去“降阶”)。 例：把式(15-1)中第4行划去，得
un＝[ un1 un2 … un(n-1) ]T
由于矩阵A每一列，即矩阵AT每一行，表 示每一对应支路与结点的关联情况，有
u＝ATun
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(15-3)
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -5
第十五章 电路方程的矩阵形式 17
用矩阵A表示的KVL矩阵形式-
2
例：图15-4有
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电路
第十五章 电路方程的矩阵形式
8 学时
§15-1 §15-2 §15-4 §15-5
第十五章 电路方程的矩阵形式
主要内容： 本章主要介绍电路方程的矩阵形式。 在图的基础上介绍几个重要矩阵：关联矩阵、
回路矩阵和割集矩阵，并导出用这些矩阵表 示的KCL、KVL方程。 导出回路电流(网孔电流)方程、结点电压方 程的矩阵形式。
设有向图结点数n，支路数b，结点与支路均编号。该 有向图的关联矩阵为一个(n×b)阶矩阵，用Aa表示。 行对应结点，列对应支路，任一元素ajk定义如下：
ajk=+1，表示支路k与结点j关联并且它的方向背离结点； ajk=-1，表示支路k与结点j关联并且它指向结点；
ajk=0，表示支路k与结点j无关联。
bjk＝+1，表示支路k与回路j关联，且它们的方向一致； bjk＝-1，表示支路k与回路j关联，且它们的方向相反； bjk＝0，表示支路k与回路j无关联。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -8
第十五章 电路方程的矩阵形式 20
例：图15-5a独立回路数等于3。选一组独立回 路图15-5b，对应回路矩阵为
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -0
第十五章 电路方程的矩阵形式 12