一次函数之存在性问题
知识点睛
函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处
理．
几何图形
一次函数
坐标
1. 如图，直线323yx与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且12OAAC，直线CD
⊥AB于点P，交x轴于点D．
（1）求点P的坐标；
（2）坐标系是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且43OCOB．
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）是第一象限的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，
△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
P
O
DCBAyx
P
O
DCBAyx
O
C
BAyx
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x
与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=25．
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的一个动点，在平面是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边
形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
O
D
C
B
A
y
x
O
D
C
B
A
y
x
O
D
C
B
A
y
x
O
D
C
B
A
y
x
xyBCOxyB
C
O
4. 如图，直线122yx与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（-3,0），P（x，y）
是直线122yx上的一个动点（点P不与点A重合）．
（1）在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为278，求出此时点P的坐标；
（3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF
≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，在直角坐标系中，一次函数y=323x的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
C
B
A
O
y
x
OCBAyx
OCBAyx
7.如图，一次函数y=33x的函数图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直
角边在第一象限作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限有一点P（m，32），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当
△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q所有
可能的坐标；若不存在，请说明理由．
30°
y
xPCBA
O
8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，
点D是直线AC上的一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
xODCB
A
9.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=162x分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线
l2:y=12x交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面是否存在点Q，使以O，C，P，Q
为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
C
BAO
10．如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B，C两点，且12OCOB.
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）是第一象限的直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，
△AOB的面积是2？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
OCBA（x，y）yx
11.如图，将Rt△AOB放入平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B
在y轴上，OB=23，
∠BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得边OB落在AB上，点O与点D重合．
（1）求直线BE的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）x轴上是否存在点P，使△PAD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
ABDEOx
y
12.如图，四边形ABCD为矩形，点D与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在y轴上，点
B的坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，点E，F分别
在AD，AB上，且F点的坐标是（2，4）.
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）坐标系是否存在点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
ABDEOx
y
ABDEOx
y
G
F
E
y
x
O(D)
C
B
A
13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A，B，点P（x，y）
是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C（6，0），O 是坐标原点，设△PCO的面积
为S．
（1）求S与x的函数关系式．
（2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15？
（3）过点P作AB的垂线分别交x轴、y轴于点E，F，是否存在这样的点P，使△EOF
≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
G
F
E
y
x
O(D)
C
B
A
P(x，y)
ABCO
x
y
P(x，y)
ABCO
x
y