通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为 h ,节点 0,1,2,3,4 上的电位
ϕχ =
将χ =
K =0
∑
ϕ (K )
K!
(χ − χ 0 )K
+ ο (χ − χ 0 )
(
n
)
（1.3）
χ1 和 χ 3 分别代入式（1.3）,得
ϕ1 =4
式中： α ——加速收敛因子 (1 < α < 2) 迭代收敛的速度与 α 有明显关系 表1.1 迭代收敛的速度与 α 的关系 收敛因子（ α ） 迭代次数（ N ） 1.0 >1000 1.7 269 1.8 174 1.83 143 1.85 122 1.87 133 1.90 171
2.0 发散
二、 叠片钢涡流损耗分析
1. 实验目的
1) 2) 认识钢的涡流效应的损耗，以及减少涡流的方法； 学习涡流损耗的计算方法；
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3)
学习用 MAXWELL 2D 计算叠片钢的涡流。
2. 实验内容
作用在磁钢表面的外磁场 H Z = 397.77 A / m ，即 B Z = 1T ，要求： 1）理论分析与计算机仿真：钢片的位置与磁场平行，在 50H Z 、 200 H Z 、 5000H Z 的
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1
实验一 用超松弛迭代法求解接地金属槽内 电位分布
一、实验原理（有限差分法介绍）
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其 基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数 ϕ 的泊松方程的问 题转换为求解网格节点上 ϕ 的差分方程组的问题。 1.1 二维泊松方程的差分格式
一、 软件环境的使用
以螺线管电磁阀静磁场分析为例，练习在 MAXWELL 2D 环境下建立磁场模型，并求 解分析磁场分布以及磁场力等数据。 1） 主要步骤 a) 建立项目：其中包括生成项目录，生成螺线管项目，打开新项目与运行 MAXWELL 2D。 b) 生成螺线管模型：使用 MAXWELL 2D 求解电磁场问题首先应该选择求解器类 型，静磁场的求解选择 Magnetostatic，然后在打开的新项目中定义画图平面，建 立 要 求 尺 寸 的 螺 线 管 几 何 模 型 ， 螺 线 管 的 组 成 包 括 Core 、 Bonnet 、 Coil 、 Plugnut、Yoke。 c) 指定材料属性：访问材料管理器，指定各个螺线管元件的材料，其中部分元件的 材料需要自己生成，根据给定的 BH 曲线进行定义。 d) e) 建立边界条件和激励源：给背景指定为气球边界条件，给线圈 Coil 施加电流源。 设定求解参数：本实验中除了计算磁场，还需要确定作用在螺线管铁心上的作用 力，在求解参数中要注意进行设定。 f) 设定求解选项：建立几何模型并设定其材料后，进一步设定求解项，在对话框 Setup Solution Options 进入求解选项设定对话框，进行设置。 2）实验要求 建立螺线管电磁阀模型后，对其静磁场进行求解分析，观察收敛情况，画各种收敛数 据关系曲线，观察统计信息；分析 Core 受的磁场力，画磁通量等势线，分析 Plugnut 的材 料磁饱和度,画出其 BH 曲线。通过工程实例的运行，掌握软件的基本使用方法。
三、实验报告要求
绘出不同频率下的磁场分布图，计算不同频率下的最低磁通密度和涡流损耗。按照要 求分别进行理论计算与计算机仿真，并对结果进行讨论。报告可以包含对电磁场分析软件 MAXWELL 2D 运用的体会。
最佳收敛因子的经验公式：
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4
α0 =
2
1 + sin( ) p
1 1 + 2 （矩形场域、正方形网格） 2 p q
π
（正方形场域、正方形网格）
α0 = 2 − π 2
• 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关 • 迭代收敛的速度与工程精度要求有关
+l ) ) ϕ i(,N − ϕ i(,N <ε j j
(
ϕ − ϕ0 ∂ϕ = f2 )0 ≈ 1 ∂n h
, ϕ0 = ϕ1 − f 2 h
(1.12)
(4)介质分界面衔接条件 的差分格式
ϕ0 = (
其中
1 2 2K ϕ1 + ϕ 2 + ϕ3 + ϕ4 ) 4 1+ K 1+ K
(1.13)
K = εa εb
1.3 差分方程组的求解方法(1) 高斯——赛德尔迭代法
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3、分片场域的静电场分析（选做） 用有限差分法计算区域内的电位、电场强度，绘制等位线。并计算区域的 电容，分析单元的大小对电容计算结果的影响，给出曲线。
100伏
εr2=4 εr1=2 εr4=3 εr3=1
0伏
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实验二
利用 MAXWELL 2D 电磁场分析软件对静磁场 进行分析
∂ϕ 1 ∂ 2ϕ 1 ∂ 3ϕ )0 + h2 ( 2 )0 + h3 ( 3 )0 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂x 2! 3! ∂x ∂x ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ 3ϕ 1 1 )0 + h 2 ( 2 )0 − h3 ( 3 )0 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂x 2! 3! ∂x ∂x
（1.4）
1) (k ) (k ) 2 (1.14) ϕ i(,kj+1) = [ϕ i(−k1+,1j) + ϕ i(,kj+ −1 + ϕ i + 1, j + ϕ i , j + 1 − Fh ]
1 4
式中： i, j = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅，k = 0, 1, 2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 • 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分 格式，直到所有节点电位满足 ϕ i , j （2）超松弛迭代法
（1.7）
(
(
（1.8）
ϕ − 2ϕ 0 + ϕ 3 ∂ 2ϕ ) ≈ 1 2 y = y0 ∂y h2
1 4
（1.9）
将式(1.7)、（1.9）代入式（1.1），得到泊松方程的五点差分格式
ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = Fh 2
当场域中 ρ = 0,
⇒
ϕ 0 = (ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − Fh 2 )
ϕ =0
2、按对称场差分格式求解电位的分布（即求出 D 域的场分布，由对称性可得全 域的场分布）
已知 a = 4cm ， h = 给定边值：如图1示 给定初值 ϕ i. j =
40 = 1mm 40
ϕ 2 − ϕ1
p
( j − 1) =
100 ( j − 1) 40
误差范围: ε = 10 −5
图1 接地金属槽内半场域的网格剖分 计算：1）迭代次数 N ， ϕ i , j ； 2）按电位差 Δϕ = 10 画出槽中等位线分布图。
7 情况下，已知钢片厚为 a = 0.5mm ，长度远大于 a ， γ = 10 S
m
， μ = 1000 μ 0 ，
分别从理论计算、计算机仿真两个方面进行磁感应强度分析。进行涡流损耗分析。 2）计算机仿真：叠片钢的模型为四片钢片叠加而成，每一片界面的长和宽分别为 12.7mm 和 0.356mm，两片之间的距离为 8.12 μm ，叠片钢的电导率为 2.08e6S/m，相 对磁导率为 2000，建立相应几何模型，并指定材料属性，指定边界条件。分析不同 频率下的涡流损耗。
得到拉普拉斯方程的五点差分格式
ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = 0
1.2 边界条件的离散化处理
⇒
ϕ 0 = (ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 )
1 4
1
•
2
图 1.2 边界条件的离散化处理 若场域离散为矩形网格(如图 1.2 示)，差分格式为：
1 1 1 1 (ϕ1 + ϕ 2 ) + 2 (ϕ 2 + ϕ 4 ) − ( 2 + 2 )2ϕ0 = F 2 h1 h2 h1 h2
（1）第一类边界条件:给边界离散节点直接赋已知电位值 （2）对称边界条件:合理减小计算场域，差分格式为：
(1.10)
ϕ 0 = (2ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 4 − h 2 F )
1 4
(1.11)
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图1.3
边界条件的离散化处理
（3）第二类边界条件:边界线与网格线相重合的差分格式：
借助计算机进行计算时，其程序框图1.5所示
启动
赋边界节点已知电位值
赋予场域内各节点电位初始值 累计迭代次数 N=0 N=N+1 按超松弛法进行一
=l ) 次迭代，求 ϕ i(,N j
N
所有内点 相邻二次迭代值的最大误差 是否小于 Y 打印 N ， ϕ ( i , j )
停机
图1.5
迭代解程序框图
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图1.1 有限差分的网格分割 二维静电场边值问题：
ρ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =− =F 2 ε ∂x ∂y
(1.1)
ϕ L = f (s)
分别用 ϕ 0 , ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 和 ϕ 4 表示。 设函数 ϕ 在 x 0 处可微，则沿 x 方向在 x 0 处的泰勒公式展开为
n
(1.2)