第二章 开放式光腔与高斯光束

1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 00 。

证明：设入射光线坐标参数为11, r，出射光线坐标参数为22,

r，根据几何关系可知

211122, sinsinrr 傍轴光线sinB则1122，写成矩阵形式

2121121 00 rr 得证

2. 证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为121

0 1d。

证明：设入射光线坐标参数为11, r，出射光线坐标参数为22, r，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得

212121121 01 01

0 0 0 1rrd 化简后2121121

0 1drr得证。

3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，则有

12RRL

将上式代入计算得往返矩阵

121010110101nnnnnnrLrLA B

C D TTTTT

可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。

于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

解：共轴球面腔稳定性条件1201gg其中121211,1LLggRR

对平凹共轴球面镜腔有12,0RR。则1221,1LggR，再根据稳定性条件

1201gg可得22011LRRL。

对双凹共轴球面腔有，120,0RR则12121,1LLggRR,根据稳定性条件1201gg 可得11221212010 01 1RLRLRLRLRRLLRRL 或。

对凹凸共轴球面镜腔有，120,0RR则12121,1,0LLggRR根据稳定性条件1201gg 可得121120111RLRRRLLRL。 1210101122110101ABLLTCDRR1001T5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜1M和2M的曲率半径分别为1R和2R，121m,2mRR

工作物质长0.5ml，折射率1.52

当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l和2l，则12lllL。设此时的等效腔长为L，则光在腔先经历自由传播横向距离1l，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l，则

所以等效腔长等于 21()llLllLl

再利用稳定性条件

由(1)解出 2m1mL

则

所以得到：

1.17m<2.17mL

6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos)/2FR，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，/(2cos)FR，为光轴与球面镜法线的夹角。 0111 (1)21LL10.5(1)0.171.52LLL21211011101110010100101101Lllllll

图2.1

解：

22222101011211010111442132221ABllCDFFllllFFFllFlF

221312llADFF

稳定条件 223111llFF

左边有 22320210llFFllFF 所以有21llFF或

对子午线： 对弧矢线：

对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得

子午光线

弧矢光线

任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得

7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔边长20.12cmda，λ=632.8nm，cos2RF子午2cosRF弧矢4243333lRlRl或43343923lRlRl或3323lRlRl或04e1310glld镜的反射率为121,0.96rr，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式

估算（l为放电管长度，假设lL）

解：01TEM模为第一高阶横模，并且假定00TEM和01TEM模的小信号增益系数相同，用0g表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式

根据已知条件求出腔的菲涅耳数

由图2.5.5可查得00TEM和01TEM模的单程衍射损耗为

氦氖增益由公式

计算。代入已知条件有0e1.075gl。将0egl、00、01、1r和2r的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求

010.047

根据图2.5.5可以查出对应于01的腔菲涅耳数 '0.90N

由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长

62'2300632.8100.90.83mmaLN

同理利满足I式的条件可得20.7mma

因此，只要选择小孔阑的边长满足0.720.83mmmma即可实现00TEM模单模振荡。 0012001201e(10.003)1 Ie(10.003)1 IIglglrrrr2270.061.930632.810aNL8.3700601101004e1310glLd8．试求出方形镜共焦腔面上30TEM模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？

解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的30TEM模的场分布可以写成

令2/()XLx，则I式可以写成

22(/)30303(,)HexyLvxyCX

式中3HX为厄米多项式，其值为

33H8-12XXX

由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令3H0X，得

1230;3/2;3/2XXX

考虑到0s/L，于是可以得到镜面上的节点位置

所以，30TEM模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和0s3/2处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为0s3/2；而沿y方向没有节线分布。

9. 求圆形镜共焦腔20TEM和02TEM模在镜面上光斑的节线位置。

解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式

mmerLrCrsrsnmmsmnmnsincos22,2022020

对于mnTEM，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义

对于20TEM：2sin2cos22,20220220202020srsserLrCr

并且1220220srL，代入上式，得到

2sin2cos2,202202020srserCr， 22(/)303032(,)He IxyLvxyCxL120s30s330;;22xxx取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取02cos2,202202020srserCr，就能求出镜面上节线的位置。即

43,402cos21

同理，对于02TEM，

202202202020220202000202222,ssrsrsserLCerLrCr

404202202022412sssrrrL，代入上式并使光波场为零，得到

02412,202404202000202srssserrrCr

显然，只要0241240420220202sssrrrL即满足上式

镜面上节线圆的半径分别为：

ssrr0201221,221

10. 今有一球面腔，11.5mR，21mR，80cmL。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：该球面腔的g参数为

由此，120.85gg，满足谐振腔的稳定性条件1201gg，因此，该腔为稳定腔。

由稳定腔与共焦腔等价条件

2111222221()()fRzzfRzzLzz 和120111LLRR 117115LgR2211.8LgR