r 若光线在腔内往返n次,最后的光线为：
n
n
那么有:
r rn r1 n 1 TT 内光线的往返传输矩阵
因谐振腔内的传输矩阵满足det(T)=AD-BC=1, 所以, 由Sylvester΄s theorem(希勒韦斯特定理):
1 A B n2 n1 C D n2 R 0 n1 n2
②平面媒质界面
上式中令R→∞ ，则
1 A B C D 0 0 n1 n2
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
2、几种常用光学元件的变换矩阵：
arccos
1 A D 2
f2
r An r1 Bn1 n n Cn r1 Dn1
f1
r0 , 0
1
f2
2
f1
3 r1 ,1
f2
f1
f2
f1
L 往返周 期单位
R1 f1 2
R2 f2 2
三、共轴球面腔的稳定性条件
稳定性概念：光腔内的傍轴光线，往返任意多次而不 从横向逸出腔外。 1. 腔的稳定性条件： 从上式,当n→∞时,Tn中的各元素An、Bn、Cn、Dn都要 保持有限,即要求 应为实数 ,且 k (k=0,1,2…)
第二章 激光器工作原理
2.1 光腔理论的一般问题 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 2.3 速率方程组与粒子数反转 2.4 均匀增宽介质的增益系数和增益饱和 2.5 非均匀增宽介质的增益饱和
2.6 激光器的阈值条件
§2. 2 共轴球面腔的稳定性条件
目标：理解掌握腔内光线往返传播的矩阵表示 、共轴 球面腔的稳定性条件 、共轴球面腔的分类 、稳区图多样 性 、稳定性的其他判别法 ，稳区图的应用 本节任务：会判定列光线传输矩阵，会写简单光学元 件传输矩阵，会运用稳定性条件判定腔的稳定性，腔 的类型，会运用稳区图及其他稳定腔判定方法。
1 A B 1 C D f
0 1
注：可证：所有的光线矩阵满足(AD-BC=1或n1/n2)
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
2、几种常用光学元件的变换矩阵：
二、光腔内光线的往返传输矩阵
过程
①传输L
1 L T1 0 1
可得, 共轴球面腔稳定性条件: 0<g1g2<1
三、共轴球面腔的稳定性条件
1 2、腔的非稳定性条件： 当 2 A D 1 时，
不再是实数,这时sin(n)为双曲正弦函数,它随n的增大而无限增
大,所以, An、Bn、Cn、Dn也无限增大, 即rn、θn也将随之无限 增大,使光线在腔内往返数次后必将从横向逸出腔外。 A D >1是腔内非稳定性条件。 所以 1 2 3、腔的临界条件 ： 当 1 A D 1
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
2、几种常用光学元件的变换矩阵：
⑷薄透镜： 薄透镜成象公式：
1 1 1 S S f 2 1 r 1 1 S1 r2 2 S2 r2 r1
r2 r1 1 2 r1 1 f 1 0 r r2 1 1 1 2 f 1
2 时，
此时 k ，An、Bn、Cn、Dn必为不定式，只在特定条件 下，才是稳定的，偏离这一条件又是非稳定的，因此， 是介于稳定与非稳定之间，称为临界条件。
三、共轴球面腔的稳定性条件
4. 腔的稳定性判据： r 1 A D 与光线的初始坐标 、出发位置及往返顺序无 2 关，仅与光腔本身的结构参数有关。当光腔元件选定后， 就确定了，所以，可以用，
2L L 1 2 L 1 R R2 A B 2 T C D 2 L 2 L 2 L 2 L 2 2 1 R R 1 R 1 R R R 1 2 1 1 2 1
六、稳定性的其他判别法
采用腔结构、稳区图和稳定性判据方法 。
⑴点线法：以一个反射面的曲率中心(O1或O2)与其顶点连一 直线,如果该线与另一反射面的曲率中心 (O2或O1)或者该 反射面本身二者之一相交,则腔是稳定的(一线单交); 如果 该线与二者都相交,或都不相交,则腔是非稳的(一线双交, 一线无交) ⑵σ图法: 分别以两个反射面的曲率半径 R 为直径作该反射 镜的内切圆(σ圆),圆心取在轴线上,若两个σ圆(平面镜为 反射面构成的垂直线)在两点相交,则为稳定腔; 若两圆不 相交则为非稳腔; 若两圆重合或在一点相交,则为临界腔
A B 1 C D 0 n1 L n2 1
②均匀介质中的线段(长为L)
A B 1 L C D 0 1
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
2、几种常用光学元件的变换矩阵：
⑵不同媒质界面折射 ①球面(半径为R) 由折射定律有: n1(θ1-α)=n2(θ2-α)，(α≈r1/R; r2=r1)，
§2. 2 共轴球面腔的稳定性条件
目标：理解掌握腔内光线往返传播的矩阵表示 、共轴 球面腔的稳定性条件 、共轴球面腔的分类 、稳区图多样 性 、稳定性的其他判别法 ，稳区图的应用 本节任务：会判定列光线传输矩阵，会写简单光学元 件传输矩阵，会运用稳定性条件判定腔的稳定性，腔 的类型，会运用稳区图及其他稳定腔判定方法。
§2. 2 共轴球面腔的稳定性条件
• • • • • 腔内光线往返传播的矩阵表示 共轴球面腔的稳定性条件 共轴球面腔的分类 稳区图多样性 稳定性的其他判别法
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1、参数及规定：
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1、参数及规定 2、几种常用光学元件的变换矩阵：
⑴线段: ① 光 线 穿 过 厚 度 L, 折 射 率 为 n2 的 介 质 , r2=r1+Lθ΄1，因n1θ1=n2θ΄1，(折射定律)
arccos 1 A D 2
即
cos 1 1 A D 1
L L 0 1 1 R R 1 1 2
g2 1 L R2
1 2
对共轴球面腔: 令：
g1 1 L R1
(2－1)
(二)分类
(二)分类
五、稳区图的应用
1.制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取值 范围如何确定？ 2.给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的曲率半 径，其取值范围如何确定? 3.如果已有两块反射镜，曲率半径分别为R1、R2，欲用它们 组成稳定腔，腔长范围如何确定？
图(2-3) 稳定图的应用
1 A sinn sinn 1 n A B T C sinn sin C D
n
An D sinn sinn 1 Cn
B sinn
Bn Dn
其中:
1 1
1 A D 2
1 来判断光腔的稳定性，故称之为腔的稳定性判据。
1 A D 1 2
1
四、共轴球面腔的分类
采用腔结构、稳区图和稳定性判据方法 。
(一)稳区图 由稳定性判据 0<g1g2<1 可以以 g1,g2 为轴作图 , 任何球面腔 (L,R1,R2)唯一地对应于g1-g2坐标上的一点。图中由坐标轴 g1=0、g2=0 和双曲线 g1g2=1 的两支围成的区域为稳区 (阴影区)。 在 g1=0、g2=0 和双曲线 g1g2=1 为临界 ( 介稳区 ), 其余为非稳 区域。 可将稳区图划分为14个区域，每个区域对应谐振腔 的一定结构。
⑶界面反射 ①球面反射：由反射定律：α-θ1=-θ2-α 且α≈r1/R；r2=r1，
1 A B C D 2 R 0 1 1 1 f 0 1
②平面反射:
上式中，令R→∞，则
A B 1 0 C D 0 1
§2. 2 共轴球面腔的稳定性条件
• • • • • 腔内光线往返传播的矩阵表示 共轴球面腔的稳定性条件 共轴球面腔的分类 稳区图多样性 稳定性的其他判别法
1 2 T2 R 2 0 1
②球面反射(R2)
③ 传输L
1 L T3 0 1
1 2 T4 R 1 0 1
④球面反射(R1)
r5 r1 r1 T T T T T 4 3 2 1 1 1 5