2015高考数学一轮复习单元检测：函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014，江西文，2)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝( )A．(－3,0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3,3)[答案] C[解析] A＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}，∁R B＝{x|x≤－1或x>5}，≨A∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x≤－1或x>5}＝{x|－3<x≤－1}，故选C.2．已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( ) A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2][答案] D[解析] 因为A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}．所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋≦)上是减少的函数是( )A．y＝1xB．y＝e－xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |[答案] C[解析] 利用偶函数定义及单调性的判断方法求解． A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 是非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋≦)上是减少的，y ＝lg|x |在(0，＋≦)上是增加的．故选C.4．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b[答案] C[解析] ≧－log 30.3＝log 3103>1且103<3.4，≨log 3103<log 33.4<log 23.4≧log 43.6<1，log 3103>1，≨log 43.6<log 3103.≧y ＝5x为增函数，≨5log 23.4>5log 3103>5log 43.6 即5log 23.4>(15) log 30.3>5 log 43.6，即a >c >b . 5．(2013·浙江高考)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 本题考查指、对运算． 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确 [答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f 22，f35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f（2）5，f （3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.7. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14 B ．12 C ．2 D ．4[答案] B[解析] ≧当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ≨f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，≨a ＝12.8．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A.124 B ．112 C.18 D ．38[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124，选A.9．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．10．若f (x )＝x －2x ＋2(x ∈R )，且f (x －2x ＋2)＝－x2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0[答案] A[解析] 函数f (x )的定义域为(－≦，－2)∪(－2，＋≦)．f (x －2x ＋2)＝x －2x ＋2－2x －2x ＋2＋2＝－x －63x ＋2＝－x 2. ≨2(x ＋6)＝(3x ＋2)x ， 即x 2＝4，≨x ＝±2. 又x ≠－2，≨x ＝2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．(2014·天津文，12)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．[答案] (－≦，0)[解析] 函数f (x )的定义域为(－≦，0)∪(0，＋≦)，令u ＝x 2，则函数u ＝x 2在(－≦，0)上是减函数，在(0，＋≦)上是增函数，又≧y ＝lg u 是增函数，≨函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间为(－≦，0)．12．方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] x ＝log 37[解析] 原方程可化为(3x )2－6·3x －7＝0， 即(3x －7)(3x ＋1)＝0，又≧3x ＋1>0，≨3x ＝7，则原方程的解是x ＝log 37.13．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．[答案] [0，＋≦)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.而⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1>0，≨m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋≦)．14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．[答案] 32[解析] 设矩形的长为x ，则宽为1－4x6，饲养场的总面积为y ，则有y ＝3x ·1－4x 6＝－2x 2＋12x .当x ＝18时，y 有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为32时，围出的饲养场的总面积最大．15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a .f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1，因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A ＝{2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}．(1)求a 的值及A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集． [解析] (1)≧A ∩B ＝{2}，≨8＋2a ＋2＝0,4＋6＋2a ＝0.≨a ＝－5. ≨A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝{12，2}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}．(2)U ＝{12，－5,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{－5}∪{12}＝{－5，12}．(3)(∁U A )∪(∁U B )的子集为： ∅，{－5}，{12}，{－5，12}．17．(本小题满分12分)已知：函数f (x )＝ax ＋b x＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间(0，12)上的单调性并证明．[解析] (1)≧f (x )为奇函数， ≨f (－x )＝－f (x )． ≨－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ≨c ＝0.≨f (x )＝ax ＋bx.又f (1)＝52，f (2)＝174，≨⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.≨a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间(0，12)上为减函数．证明如下： 任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(2－12x 1x 2)＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.≧0<x 1<x 2<12，≨x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0. ≨f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ≨f (x )在(0，12)上为减函数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有唯一零点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)≧函数f (x )在区间(－1,1)上有唯一零点，≨⎩⎪⎨⎪⎧f 1>0，f1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a >1.≨1<a <2.(2)若a＝32 17，则f(x)＝3217x3－6417x＋2817，≧f(－1)>0，f(1)<0，f(0)＝2817>0，≨零点在(0,1)上．又f(0.5)＝0，≨f(x)＝0的根为0.5.19．(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比例．又当x＝0.65元/度时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)≧y与x－0.4成反比例，≨设y＝kx－0.4(k≠0)．将x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得k＝0.2.≨y＝0.2x－0.4＝15x－2，即y与x之间的函数关系式为y＝15x－2.(x≠25)(2)根据题意，得(1＋15x－2)·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0.解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．≧x 的取值范围是0.55～0.75之间，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．≨取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．[解析] (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x ， 又≧函数f (x )为奇函数，≨f (x )＝－f (－x )，≨f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．(2)≧f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]． ≨g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24. 当a 2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24； 当a 2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4.综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1，当2<a <4时，f (x )最大值为a 24， 当a ≥4时，f (x )最大值为2a －4.21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log 12(x 2－mx －m .) (1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－≦，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围．[解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)， 由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52， ≨函数f (x )的定义域为(1＋52，＋≦)∪(－≦，1－52)． (2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4.(3)由题意可知： ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1－31－32－m 1－3m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。