1 / 28 2018年广东省高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（ ） A． B．0 C．1 D．3 2． 若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（ ） A．z1•z2是实数 B．是纯虚数 C．|z|=2|z2|2 D．z=4i 3． 已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（ ） A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8 4． 如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）
A． B． C． D． 5． 已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81 6． 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ） 2 / 28
A．=1 B． C．=1 D．=1或=1 7． 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12 8． 设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B．[﹣4，4] C．[0，4] D．[0，2] 9． 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ） 3 / 28
A． B． C． D． 10． 已知数列{an}前n项和为Sn，a1=15，且满足（2n﹣5）an+1=（2n﹣3）an+4n2
﹣16n+15，已知n，m∈N+，n＞m，则Sn﹣Sm的最小值为（ ） A． B． C．﹣14 D．﹣28 11． 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（ ） A． B．8π C． D．36π 12． 已知函数f（x）=ex﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（ ） A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥ B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x） C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）=﹣1 D．f（x）min∈（0，1）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13． 将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是 ． 14． 已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为 ． 15． 已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为 ． 16． 设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线4 / 28
y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8． （1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值； （2）若b=12，求△ABC的面积． 18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°． （1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF； （2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．
19．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表： 上一年度销售额/万元 [0，100） [100，200） [200，300） [300，400） [400，500） [500，+∞）
商品单价/元 a 0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，5 / 28
得到下面的柱状图． 已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率． （1）求X的平均估计值． （2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为 获奖金额/元 5000 10000 概率
记Y（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列及数学期望..
20．已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点． （1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率； （2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值． 21．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）=e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x． （1）求f（x）的单调区间； （2）当x＞0时，af（x）＜ex﹣x恒成立，求a的取值范围． 6 / 28
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l和圆C的极坐标方程； （2）若射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）=|mx+3|﹣|2x+n|． （1）当m=2，n=﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集； （2）当m=1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围． 7 / 28
2018年广东省高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（ ） A． B．0 C．1 D．3 【分析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值． 【解答】解：A∩B={0}； ∴0∈A，0∈B； ∴log3x=0； ∴x=1，y=0； ∴x+y=1． 故选：C． 【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念及运算，以及元素与集合的关系．
2． 若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（ ） A．z1•z2是实数 B．是纯虚数 C．|z|=2|z2|2 D．z=4i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案． 【解答】解：∵z1=1+i，z2=1﹣i， ∴z1•z2=1﹣i2=2，故A正确；
，故B正确； 8 / 28
，，故C正确； ，故D错误． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3． 已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（ ） A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可． 【解答】解：=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3）， 若，则﹣1×（m﹣4）﹣3×m=0； 解得m=1； ∴=（1，﹣3） =（2，3）； =1×2+（﹣3）×3=﹣7． 故选：A． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是基础题．
4． 如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）
A． B． C． D． 9 / 28
【分析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等， 将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形， 则阴影部分的面积为正方形面积的，则向正方形内随机投入一点，则该点落在
阴影区域内的概率P=， 故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．
5． 已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81 【分析】等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），可得=3（a2q+a2），化为：q2=3．由等比数列的性质可得：
a1a2……a9=q1+2+……+8=q4×9，代入=q4．即可得出． 【解答】解：等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2）， ∴=3（a2q+a2），
化为：q2=3． 由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9 则==q4=9．
故选：B．