线性代数作业提示与答案作业（1）一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=2413212211,757975,767171k x k x k k x k k x三．1．阶梯形（不唯一）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14010612007121002301，简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100000211000001002701 秩为4；2．简化阶梯形为单位矩阵.四．1．其系数矩阵的行列式值为 2)1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定）当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解，当2-=λ时，通解为=x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k ；当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-；2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++----2200123230121211~2λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解；当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x TT k ],,[],,[022111+.作业(2)一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-1204. ()()!)1(221n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=2323322111c b a c b a c b a 3． 0；（注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．1222+++γβα作业(3)一．1．c; 2. d ; 3.a二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ni iax 1，得到(∑=+ni i a x 1)1-n x.2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ．3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到.)1(01000010111112212)1(n nn n n n --=--4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表示方法和变换过程中用到的是等价符号）作业(4)一. 1.()B A +32; 2. 24. 3. 232221x x x ++ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡232313322212312121x x x x x x x x x x x x x x x ， 4. BA AB = 二. 1. a 2. a三. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10832082四. 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---21426711. 2. 不能相乘. . 3.323223313113212112233322222111)()()(x x a a x x a a x x a a x a x a x a ++++++++作业(5)一.1.1-n a ； 2．0； 3．=A -1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3405700021； 4. I ; 5．121-A二. 1. c; 2 .b; 3.b; 4. c; 5.d四. 1 五. n215-作业(6)一． 1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010,-1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010； 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2100010001,2,200010001 3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-004010001,1.104010001 4. ()331-R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000103015. 列，[]3231,,3a a a a - 6. 相等二. 1．b ；2．c;三. 1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-17162132130121A ； 2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-111110011100011000011A四. 1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-4141B A X ， 2. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-212942521B A X 作业(7)一. 1. b a 23=；2. 1221b a b a =；3．R )(A 2≤；4．0≠lm ； 二.1．a ; 2. b; 3.d;三 1a 能由23,a a 唯一地线性表示，4a 不能由123,,a a a 线性表示四．123123212,,[,,]123124B b b b a a a AD ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，因,5det =D ，故)()(B R A R =，从而321,,b b b 线性无关.作业(8)一．1．r ；2．相 3． 1，通解为=x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--100101010011121 n k k k二.1．d; 2．d ； 三.（1）412323aa a a =++，（2）又123,,a a a 线性无关，故123,,a a a 是向量组123,,a a a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）123,,a a a ,4a 的秩和矩阵A =[123,,a a a ,4a ]的秩都为3.四．12341121014129321315101[,,,]~9315410003670000a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,12,a a 是向量组的一个最大线性无关组.且31241211521,9933a a a a a a =-+=+.作业(9)一 1．T ],,[558 2．r ；12,,,ra a a L ； 3．n-r 二. 1.b; 2. b; 3. a ； 4. d ； 5.c ； 6.d 三. 证明123,,aa a ,4a 线性无关，向量[]1,2,7,4b T=在这组基下的坐标为4351--,,,.四． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00007510072021~A ,基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=175072001221ξξ,,通解为=x 2211ξξk k + （注：先求出分量形式的通解，转化为向量形式的通解，容易得到基础解系。

如果所选自由未知量不同，基础解系的形式可以不同，通解形式也可不同）五 ,000011101201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B 通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=011112k x 作业(10)一．1．T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21,21,21,21a e ； 二．1．d三. 只要证明V 对于向量的加法和数乘运算封闭.四．a =3，b =2，,arccos 61=θ c b a b a ),(--23=T ],,,[9411---.五．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=121242121A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000000121~,得到零空间的一组基：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101,01221x x ，正交规范化，得T x T x e e ]305,302,301[,]0,51,52[21-==. 作业（11）一．1．321,,=λ；2. 0; 3.)())((λλλ---n 21, det ()B =!n二. 1.b; 2. d三． 1．特征值01=λ9132=-=λλ,，特征向量[]Tt x 1,1,11-=，0≠t ，,]0,1,1[2T s x -=0≠s ，T k x ]2,1,1[3=，0≠k ；2．特征值,1-=λ特征向量=1x T t ]1,1,1[-，0≠t四．计算得特征值21=λ，特征向量T T p p ]4,0,1[,]0,4,1[21==，特征值,12-=λ特征向量3[1,0,1]T p =，123,,p p p 线性无关，故A 和对角阵相似。

令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=140004111P ，则]1,2,2[1-=-diag AP P .五.若0=λ是A 的特征值,则有λ0A E A -==，和A 逆矛盾。

设λ是矩阵A 的特征值 ，ξ是属于λ的特征向量,则11ξλξξξλA A -=⇒=，故λ1是矩阵1A -的特征值.六. 设ξ是 A 的属于λ的特征向量, 则:()ξλξλξλξλ ξλλξ)ξ(ξ1222111mm m m m m m m A AA AA A A A A ========------七．()T T A I A I A I λλλ-=-=- ，即TA 与A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 八．11=-=a x ,.（提示：主对角线元之和与特征值之和相等可求得x ,代入矩阵求行列式应当为零（因为有零特征值），从而得a ）作业(12)一．1. 无, 0 ； 2. 5, T T T T k k k k ]1,0,0,0[]0,1,0,0[]0,0,1,0[]0,0,0,1[4321+++ , 其中4321k k k k ,,,不同时为0； 3. 3=λ 二． 1. b 2. c 3.a 三．1. 特征值2λ4λ1λ321-===,对应的特征向量分别是:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112ξ1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=122ξ2,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2213ξ，令:122110011220403212002P P AP -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦则.2. 10λ1λλ321===,. 对应的特征向量分别为123221ξ1ξ0ξ2012-⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 规范正交化，分别得:0⎡⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-323231， 令1323203Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10111AQ Q 四、设所求特征向量为x ,则0),(,0),(21==x x ξξ ，即⎩⎨⎧=++=++0220321321x x x x x x有 T Tt x x x t x )0,1,1(],,[321-== ( 0≠t )，规范正交化:T T T y y y )0,1,1(21)2,1,1(61)1,1,1(31321-=-==令()321,,y y y Q = 则 )1,1,1(-=diag AQ Q T ⇒T Q QdiagA )1,1,1(-= 五、03a 1λ=-=-=b .作业(13)一．1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011102120；2．322123214+2-+x x x x x x ； 3. 3 ； 4.1>k二.1. d2. d3. d三. 1. A 的特征值为: 1=2=5=321λ,λ,λ对应的单位化特征向量:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1102100111021321P P P ,令01000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎥⎥⎦则521T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 将x =Py 代入()3211x x x q 得: 2322211+2+5=y y y q .2. A 的特征向量为:10=1==321λ,λλ.属于1的两个单位正交化特征向量为:120P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，属于10的单位化特征向量为: 3132323P ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，记⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32535032534513153252P 332221110,y y y q Py x ++==则令 四． ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=c c A 3005125240315~33351315 ， R(A)=2， 所以03=+-c ，3=c五．1112125t A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 由011>=D ， 0>-1=11=22t t t D , 0>521-211-1=3t t D 得： 0<<54-t . 自我测验题（1）一 、 1）2137171155a a a t t +==≠ 2）4， 16 3） A A AA A A T T T +4） 0， 2 5）二、 1 b 2 a 3 d 4 d 三、 1） 12）由E C B C E A T T =--)(1 得 T B C A ])[(1--= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1000210012100121)(1B C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A 3）由AB E A =-)2(,得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--21210111152410011103210011101)2(11A E A B 四 、 增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---500003735024121~λA ，5=λ时有无穷多解，特解为， T x )0,0,53,54(=*。