线性代数课后习题答案习题一1.2.3（答案略）4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639(2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为3972815645.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数)∴项前的符号位()611-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+=∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-⋅原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21)1(1)(2)21n n n n n n τ--⋅⋅---⋅⋅原式=(1)(2)2(1)!n n n --=-（3）原式=((1)21)12(1)1(1)n n n n n a a a τ-⋅-- (1)212(1)1(1)n n n n n a a a --=-7.8（答案略）9. ∵162019(42)0D x =⨯-⨯+⨯--⨯=∴7x =10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得[]11(1)111001(1)1110(1)11(1)111x x n x x x n x x x n xx n xx +-+--==+-+--[]1(1)(1)n x n x -=+--（2）按第一列展开：11100000(1)(1)0n n n n n y x y D x x y x y xy-++=⋅+-=+-（3）1231134114512(1)2113211221n nnn nDn n nn n-+=----12310111101111(1)20111101111n nnnn nnn---+=--11111111(1)211111111nnn nnn--+=--(2)(3)2111111111(1)(1)211111111n nnnn nnn-+-+++--+=⨯---(1)(2)211111111(1)(1)211111111n nnn nnn-----+=-⋅----(1)(2)(1)1 221000100(1)(1)(1)22100100n n n n n nnn n n nnn-------++=-⋅=-⋅----习题二1.2.3.4.5（答案略） 6. 设 11122122xx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B 为与A 可交换的矩阵，则有=AB BA 即 111211122122212211111111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解之得 11122122,,,x a x b x b x a ====7. （1）112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 记为X =AY11223111101y z y z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，记为Y =BZ（2）()()X =A BZ =AB Z 即 11223325013x z x z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 8（答案略）9.2345()32181010341f -⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭A A A E10.（1）2222()()+-=+--=-A B A B A BA AB B A B(2) 2()()()+=++A B A B A B22=+++A BA AB B =222++A AB B11. ∵21,()2==+A A A B E∴ 222,44=-=-+=B A E B A A E E 反之 若 2=B E ,则 244-=A A O ,即 2=A A12. (1) 设2(),()ij ij a b ==A A ∵T =A A ∴ij ji a a =又∵ 2=A O ∴0ii b = 又 1122ij i j i j in nj b a a a a a a =+++22212i i in a a a =+++ (,1,2,,)i j n =当 1,2,,i j n ==时，有1112121222120,0,0n n n n nn a a a a a a a a a ============∴ 0A =（2）设 ()ij a =A ，()T ij b =AA 则1122ij i j i j in jn b a a a a a a =+++∵ 0T =A A ∴ 0(,1,2,,)ij b i j n ==当 i j = 时，有 222120(1,2,,)i i in a a a i n +++==故 120(1,2,,)i i in a a a i n ===== 即 0=A13.(1) ∵ ()T T T =A A A A ∴T A A 为对称矩阵同理 T AA 也为对称矩阵（2） ∵ ()T T T T +=+=+A A A A A A ∴ T +A A 为对称矩阵又 ∵()()T T T T -=-=--A A A A A A ∴ T -A A 为反对称矩阵（3）∵111()()()222T T T T =++-=++-A A A A A A A A A由（2）知，1()2T +A A 为对称矩阵，1()2T -A A 为反对称矩阵故 A 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。

14. （1）必要性：∵,,()T T T ===A A B B AB AB ∴()T T T ===AB AB B A BA 充分性： ∵ ,,T T ===A A B B AB BA ∴ ()()T T T T ===AB BA A B AB (2) 必要性： ∵222,,()===A E B E AB E∴ 222()====BA EBAE A BAB A AB B AB 充分性：∵22,,===A E B E AB BA∴ 222()()()()====AB AB AB A BA B A B E(3) 必要性 ：∵222,,()==+=+A A B B A B A B∴222()+=+++=+++=+A B A AB BA B A BA AB B A B即 =-AB BA充分性： ∵22,,===-A A B B AB BA ∴ 2()+=+A B A B 15（答案略）16. ∵ 1()()k --++++=E A E A A A E∴ -E A 可逆。

且 121()k ---=++++E A E A A A 17. ∵ 111()k k k k ----===A A A A AAA A E∴ k A 可逆，且 11()()k k --=A A 18.（答案略）19. ∵*=AA A E ,若 A 可逆，则0≠A∴ *1⎛⎫= ⎪⎝⎭A A E A 故 *A 可逆，且*1()-=A A A20.设 ()ij a =A ，∵A 是对称矩阵 ∴ij ji a a = 记 *()ij N =A ，则ij ji N N =，即*A 为对称矩阵，又∵ *1-=A A A, ∴ 1-A 为对称矩阵。

21.（1）设 *()ij N =A ，则 *11*()(1)(1)n n ij N ---=-=-A A （2） ∵ *=AA A E ∴*1-=A A A 又 ∵11*1()()---=A A A E ∴ 1*111()()----==-1A A A A A于是 *1*11()---==A A A A A A E 即 1**1()()--=A A (3)∵ *=AA A E ∴1-=*A A A于是 *111*()()()()()T T T T T T ---====A A A A A A A A (4) (注意加条件：A 可逆) ∵ A 可逆 ∴ *1A -=A A ∴ 11**1*1**1()()()()n n -----===A A A AA AA1211()n n ----==AA A AA22. ∵ 1B C AC -= ∴ 1111()()()m m B C AC C AC C AC C A C ----==23. 24.（答案略）25. ∵ 2320--=A A E ∴ 1(3)2⋅-=A A E E∴ A 可逆，且 11(3)2-=-A A E26. ∵ 1-=P AP Λ ∴ 1-=A P ΛP 11111111()()()()----==A P ΛP P ΛP P ΛP P ΛP又 ∵1411--⎛⎫= ⎪⎝⎭P , 1141311-⎛⎫= ⎪--⎝⎭P , 11111002-⎛⎫= ⎪⎝⎭Λ ∴ 11111410142731273213110211683684---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 27（答案略）28. ∵ =+C A CA ∴ 1()-=-C A E A 又 ∵ =+B E AB ∴1()-=-B E A故 111()()()()----=---=--=B C E A A E A E A E A E 29. 1*1*1(3)223---=-A A A A***1112233⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭A A A A A ()()**24233=-=-A A∵ *=AA A E ∴ 1*,n n -==*A A A A A∴ ()()321*4116(3)23227---==-A A30.（答案略）31.（1） 132123123,2,,,22,,224=-=-=-⨯=-A A A A A A A A A(2) 31213211233,3,,3,,3,326-==-=-⨯=-A A A A A A A A A A 32.+++===--A B A BA B A BOA +B A B B A BA BA B33. (1) ∵1111----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭O A E O O B AA OB O O EA O O BB∴111---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O A O BB O A O(2) ∵111111111---------⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A C E OA A CB AA AA CB CBO B O E O B O BB∴11111-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A A CBO B O B习题三 1.2.3.4（答案略）5. ∵ β不能由12,,,m ααα线性表示 ∴线性方程组 1122m m k k k +++=αααβ无解不妨假设 β能由12,,,()s s m <ααα线性表示，则存在一组数12,,,s k k k '''，使1122s s k k k '''+++=αααβ 从而 1122100s s s m k k k +'''++++⋅++⋅=αααααβ此式与方程组1122m m k k k +++=αααβ无解矛盾。