线性代数期中练习 一、单项选择题。

1．12021k k -≠-的充分必要条件是( )。

(A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ ）时，有B ＝C 。

(A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =333231232221131211，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a （ ）。

(A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M4．齐次线性方程组123123123000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a 应满足（ ）。

(A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =．5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b = 的通解是（ ）。

(A) 11212121()()2c c αααββ+-++ (B) 11212121()()2c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121()()2c c αββββ+-++ 二．填空题。

6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T =。

7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | =。

| ( AB )-1 |=。

8. 在分块矩阵A=B O O C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，已知1-B 、1-C 存在，而O 是零矩阵，则=-1A。

9．设D =7345327254321111-,则=+++44434241A A A A 。

10．设矩阵A=123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩R(A)= 。

三．计算题（要求写清计算过程）11. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求32AB A -。

12．计算行列式 121212123x n x n D xn x=。

13．解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎨⎪-++=⎩。

14．解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭。

15．a 取何值时，线性方程组12312312311x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解, 并求其解。

四．证明题（每题5分，共10分）16. 设向量组321,,ααα线性无关，证明以下向量组线性无关： 112βαα=+ ，322ααβ+=，313βαα=+。

17．设n 阶矩阵A 满足224A A I O --=.证明：A 可逆并求1-A 。

线性代数参考答案一、单项选择题。

1．12021k k -≠-的充分必要条件是( C )。

(A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ B ）时，有B ＝C 。

(A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =333231232221131211，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a （ D ）。

(A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M4．齐次线性方程组123123123000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a 应满足（ D ）。

(A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =．5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b =的通解是（ A ）。

(A) 11212121()()2c c αααββ+-++ (B) 11212121()()2c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121()()2c c αββββ+-++ 二．填空题。

6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T =28 。

7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | = -3750 。

| ( AB )-1 |= -1/6。

(答对其中一空给2分)8. 在分块矩阵A=B O O C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，已知1-B 、1-C 存在，而O 是零矩阵，则=-1A 11B O OC --⎛⎫⎪⎝⎭。

9．设D =7345327254321111-,则=+++44434241A A A A 0 。

10．设矩阵A=123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩R(A)= 2 。

三．计算题（要求写清计算过程）11. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求32AB A -。

解：1111230152433111124015181110516270AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0152422232015182226270222AB A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=21322217204292-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭。

12．计算行列式 121212123x n x n Dxn x=。

解：1(1)122121(1)2122121(1)221231(1)232x n n n x n x n n x n x n D xn x n n x nxx n n x++++==++++112121[(1)]122123n x n xn n xn x=++ 11201001[(1)]0120211n xx nn x xn-=++--=1[(1)](1)(2)()2x n n x x x n ++---。

13．解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎨⎪-++=⎩解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换115111233181A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭31012701220000⎛⎫⎪ ⎪⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得出原方程组的同解方程组1342343 027 202x x x x x x ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 设314212,,,x c x c c c ==为任意常数.得到方程组的全部解为1234121237(,,,)(,,1,0)(1,2,0,1),,22=-+--T T T x x x x c c c c 为任意常数。

14．解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭。

解：由AX B X +=得()I A X B -=。

因为0I A -≠所以1()X I A B -=-。

1111002/31/3()10112/31/310201/31/3I A ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因而102/31/311()12/31/32001/31/353X I A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-=- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=312011-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭ 15．a 取何值时，线性方程组12312312311x x x aax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解, 并求其解。

解：2111111()11101111110011a a A b a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当1231()(|)3,1,2,1;a r A r A b x x a x ≠===-=+=-时，有唯一解：当1a =时，1111(|)00000000A b ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭即原方程组与下面方程1231x x x =--同解,其中23,x x 是自由变量. 23(,)(0,0)T T x x 取得到一个特解为(1,0,0).T原方程组的导出组与方程123x x x =--同解.23(,)(1,0),(0,1)T T T x x 分别取得到一个基础解系为:(1,1,0),(1,0,1)T T --因此,当1a =时，方程组的通解为:1212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1),.T T T c c c c +-+-，为任意常数四．证明题（每题5分，共10分）16. 设向量组321,,ααα线性无关，证明以下向量组线性无关： 112βαα=+ ，322ααβ+=，313βαα=+。

证明: 设0332211=++βββk k k ，所以131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=，因为321,,ααα线性无关，所以13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，系数行列式1011100011≠，所以方程只有零解，即0321===k k k ，故321,,βββ无关。

17．设n 阶矩阵A 满足224A A I O --=.证明：A 可逆并求1-A 。

证明:由224A A I O --=可得 224-=A A I ，进一步(2)/4A A I I -=，因此, A 可逆且1(2)/4-=-A A I 。