旅行商问题（ＴｒａｖｅｌｉｎｇＳａｌｅｓｍａｎＰｒｏｂｌｅｍ，简称ＴＳＰ）是一个著名的组合优化问题：给定ｎ个城市，有一个旅行商从某一城市出发，访问每个城市各一次后再回到原出发城市，要求找出的巡回路径最短。

如果用图论来描述，那就是已知带权图Ｇ＝（Ｃ，Ｌ），寻出总权值最小的Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈。

其中Ｃ＝｛ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ｝表示ｎ个城市的集合，Ｌ＝｛ｌｉｊ｜ｃｉ，ｃｊ∈Ｃ｝是集合Ｃ中元素（城市）两两连接的集合，每一条边ｌｉｊ，都存在与之对应的权值ｄｉｊ，实际应用中ｄｉｊ可以表示距离、费用、时间、油量等。

ＴＳＰ的描述虽然简单，解决起来却很困难。

最简单思路是用穷举法把所有可能的巡回路径全部列出来，最短的一个就是最优解，但这样只能处理很小规模的问题。

旅行商问题属于ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题，是ＮＰ（ｎｏｎ－ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃｐｏｌｙ－ｎｏｍｉｎａｌ）问题中最难的一类，不能在多项式时间内求解。

如果有ｎ座城市，那么巡游路径共有（ｎ－１）！／２条，计算的时间和（ｎ－１）！成正比。

当城市数ｎ＝２０，巡回路径有１．２×１０１８种，ｎ＝１００，巡回路径就有多达４．６×１０１５５种，而据估计宇宙中基本粒子数“仅仅只有”１０８７个。

尽管如此，随着算法研究的逐步深入和计算机技术飞速提高，对ＴＳＰ问题的研究不断取得进展。

７０年来，被征服的ＴＳＰ规模从几十个城市增加到上万个城市。

目前的最高记录是在２００４年５月，找到的巡游瑞典２４９７８个城镇的最优路径（ｓｗ２４９７８），花费了８４．８个ＣＰＵ年。

图１展示了ＴＳＰ的研究进展，最近的二三十年时间里，被攻克的ＴＳＰ规模高速增长，差不多是每十年增加一个数量级。

照这样发展下去的话，再过２０年就能解决上百万个城市的ＴＳＰ，有专家甚至已经为此准备好了数据：全球１９０，４７１１个城市的坐标。

当然，能不能达到这个目标，有赖于未来计算技术的发展。

图１ＴＳＰ的发展字母后面的数字表示城市数，“ｓｗ２４９７８”就是瑞典的２４９７８个城镇。

一、应用旅行商问题具有重要的实际意义和工程背景。

它一开始是为交通运输而提出的，比如飞机航线安排、送邮件、快递服务、设计校车行进路线等等。

实际上其应用范围扩展到了许多其他领域，下面举几个实例。

印制电路板转孔是ＴＳＰ应用的经典例子，在一块电路板上打成百上千个孔，转头在这些孔之间移动，相当于对所有的孔进行一次巡游。

把这个问题转化为ＴＳＰ，孔相当于城市，孔到孔之间的移动时间就是距离。

为了避免大气干扰，使光学系统达到其衍射极限分辨率，欧美发达国家提出发展空间光干涉仪和综合孔径望远镜的计划。

美国航空航天局有一个卫星群组成空间天文台（Ｓｐａｃｅ－ｂａｓｅｄＯｂｓｅｒｖａｔｏｒｉｅｓ）的计划，用来探测宇宙起源和外星智慧生命。

欧洲空间局也有类似的Ｄａｒｗｉｎ计划。

对天体成像的时候，需要对两颗卫星的位置进行调整，如何控制卫星，使消耗的燃料最少，可以用ＴＳＰ来求解。

这里把天体看作城市，距离就是卫星移动消耗的燃料。

美国国家卫生协会在人类基因排序工作中用ＴＳＰ方法绘制放射性杂交图。

把ＤＮＡ片断作为城市，它们之间的相似程度作为城市间的距离。

法国科学家已经用这种办法作出了老鼠的放射性杂交图。

此外，旅行商问题还有电缆和光缆布线、晶体结构分析、数据串聚类等多种用途。

更重要的是，它提供了一个研究组合优化问题的理想平台。

很多组合优化问题，比如背包问题、分配问题、车间调度问题，和ＴＳＰ同属ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ类，它们都是同等难度的，如果其中一个能用多项式确定性算法解决，那么其他所有的ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ类问题也能用多项式确定性算法解决。

很多方法本来是从ＴＳＰ发展起来的，后来推广到其他ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ类问题上去。

二、ＴＳＰ求解方法求解旅行商问题的方法可以分为两大类，一类是精确算法，目的是要找到理论最优解；另一类是近似算法，不强求最优解，只要找到“足够好”的满意解就可以了。

（一）精确算法如前面所述，穷举法和全局搜索算法属于精确算法，但旅行商问题概述郭靖扬（电子科技大学光电信息学院，四川成都６１００５４）【摘要】旅行商问题是组合优化的经典问题，应用广泛，而且长期以来被作为ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题的理想研究平台。

文章介绍了旅行商问题的基础知识、应用，以及常用的求解方法。

【关键词】旅行商问题；组合优化；ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ；ｋ－ｏｐｔ；智能算法【中图分类号】ＴＰ１８２【文献标识码】Ａ【文章编号】１００８－１１５１（２００６）０８－０２２９－０２大众科技ＤＡＺＨＯＮＧＫＥＪＩ２００６年第８期（总第９４期）Ｎｏ．８，２００６（ＣｕｍｕｌａｔｉｖｅｌｙＮｏ．９４）【收稿日期】２００６－０３－１８【作者简介】郭靖扬（１９８０－），四川宜宾人，电子科技大学光电信息学院硕士研究生。

２２９－－是计算量太大不可能实现。

常用的精确求解方法主要有两种。

１９５４年，ＧｅｏｒｇｅＤａｎｔｚｉｇ等人用线性规划的方法取得了历史性的突破———解决了美国４９个城市的巡回问题。

这就是割平面法，在整数规划问题上也广泛应用。

还有分枝限界法，所谓限界，就是求出问题解的上、下界，通过当前得到的限界值排除一些次优解，为最终获得最优解提示方向。

每次搜索下界最小的分枝，可以减小计算量。

总的来说，精确算法比较复杂，要写很长的代码，而且计算量仍然很大。

（二）近似算法大多数情况下只要能求得满意解就可以满足要求了。

用近似算法得到的满意解和最优解往往只差几个百分点。

和精确算法相比，近似算法比较简单，计算量小很多，大致可分为三类：１．巡回路径构造算法。

这种算法是把城市一个一个地加入到路径中去，全部加进去以后就得到了一条巡回路径。

最简单的巡回路径构造算法是贪婪算法，每次选择最小的一条边，但是最后要把起点和终点连起来，最后这条边往往会很长，所以找到的是一个很“粗糙”的解。

此外，还有插入法、双最小生成树法、Ｃｌａｒｋ＆Ｗｒｉｇｈｔ法等。

２．巡回路径优化算法。

也就是局部搜索算法，搜索一个解空间邻域里的最优值，先产生一条初始巡回路径，再改变其中某些城市的顺序，使路径优化，逐渐接近最优解。

ｋ－ｏｐｔ算法的思路是，从巡回路径中找出ｋ条边，把它们换成另外ｋ条边（换过以后仍然是一条巡回路径，没被断开），使路径得到优化。

ｋ是一开始就设定的常数。

从巡回路径中找出ｋ条边，共有Ｃｎｋ种选择方法，必须全部考虑到。

如果无论选出哪ｋ条边来替换都不能进一步优化，则称这条巡回路径是ｋ－最优。

显然，ｋ越大，优化后的效果越好，可是随着ｋ的增大，计算量也快速增大。

一般用２－ｏｐｔ和３－ｏｐｔ。

Ｌｉｎ和Ｋｅｒｎｉｇｈａｎ提出了Ｌｉｎ－Ｋｅｒｎｉｇｈａｎ算法，和ｋ－ｏｐｔ相比，多了一系列替换规则，大大减小了计算量，是目前处理ＴＳＰ最好的局部搜索算法。

３．智能算法。

所谓智能算法，是指２０世纪以来借助自然界的规律，根据其原理设计的算法，如模拟退火、遗传算法、神经网络、蚁群算法等。

本文把它们都归入近似算法。

模拟退火算法（ＳＡ），它是局部搜索算法的一种扩展，根据复杂组合优化问题与固体退火过程之间的相似之处，在它们之间建立联系。

退火过程中，固体最终达到能量最小的状态，对应于模拟退火算法找到最优解。

与局部搜索算法不同的是，模拟退火算法随机接受一些劣解，这样就有希望从局部最优解中跳出，找到全局最优解。

遗传算法（ＧＡ）是根据自然界的“物竞天择，适者生存”现象提出的一种随机搜索算法。

把一定数量的解作为一个群体，通过选择、交配和变异把适应性强的染色体（ＴＳＰ中较好的一些边）遗传下来，使解进化（优化）。

人工神经网络（ＡＮＮ）是对人脑神经系统的仿真，具有并行性、容错性、学习能力、知识存储等优点。

用Ｈｏｐｆｉｅｌｄ神经网络求解ＴＳＰ问题取得了很好的成果。

蚁群算法（ＡＣＡ）是模拟蚁群行为的一种仿生算法。

蚂蚁个体能力很低，却可以协同工作，集中食物，建筑蚁穴，依靠群体智能发挥出超出个体的智能。

与前面几种智能算法不同的是，蚁群算法更接近巡回路径构造算法而不是巡回路径优化算法，每只蚂蚁单独完成巡游，并通过信息素交流，最终都聚集到一条局部最优路径上来。

三、结语旅行商问题是离散最优化的一个基本问题，由于提法简单，求解的思路和方法非常自由。

多年来对以ＴＳＰ为代表的ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题的研究取得了许多丰硕的成果，许多算法因此而产生并发展起来，其影响遍及现代科学技术很多领域，如计算机科学、人工智能、管理科学、通信工程、电力电子、机械工程和生命科学等。

对ＴＳＰ的各种研究方法正面临越来越广阔的发展前景，ＴＳＰ本身的应用范围也在不断扩展。

不论从理论还是实际来讲，研究旅行商问题取得的每一步进展都有重大意义。

【参考文献】［１］段海滨．蚁群算法原理及其应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５．［２］文建国．光综合孔径望远镜子孔径阵列的优化和计算机仿真［Ｄ］．２００３．（２）．［３］李随成，刘广．一种改进的ＴＳＰ问题启发式算法［Ｊ］．管理工程学报，２００５，（２）．［４］马少平，朱小燕．人工智能［Ｍ］北京：清华大学出版社，２００５．［５］陈斌，徐华中．一种改进遗传算法及其在ＴＳＰ中的应用［Ｊ］．计算机工程，２００２，（９）．［６］程明，刘琴．神经网络ＴＳＰ问题仿真分析［Ｊ］．郑州大学学报，２００４，（３）．２３０－－。