第二章判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（ ） 685ππ+n （ ） )8(π-ne j （ ）343ππ+n 解 对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于)5(16516取k k =。

（ ）对照复指数序列的一般公式 ωσj + 得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（ ）对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，又343ππ+n ＝ -2π343ππ-n ＝ 6143-n π ，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于 )3(838取k k =在图 中， 和 分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的 和 的线性卷积以得到系统的输出 ，并画出 的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 的每一个取样值。

≥ δ δδ δ δδ δ δ∑∞-∞=--kkn knuku a)()( ∑∞-∞=-kknaaa n--+111计算线性线性卷积λn解： ∑∞-∞=-kknuku)()(∑∞=-)()(kknuku ≥ 即∑∞-∞=-kk knuku)()(λ∑∞=-)()(kk knukuλ λλ--+111n≥即 λλ--+111n图 所示的是单位取样响应分别为 1 和 2 的两个线性非移变系统的级联，已知1 δ δ2 n 求系统的输出解 ω 1∑∞-∞=k k u )( δ δω 2∑∞-∞=k k k u a )(∑∞-=3n k ka≥已知一个线性非移变系统的单位取样响应为 n- 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明 （ ）交换律∑∞-∞=-kknykx)()(令 所以 又 ∞ ∞ 所以 ∞ ∞ 因此线性卷积公式变成∑∞-∞=---ttnnytnx)]([)(∑∞-∞=-ttytnx)()(交换律得证结合律∑∞-∞=-kknykx)()(∑∞-∞=t ∑∞-∞=-k k t y k x )()(∑∞-∞=k ∑∞-∞=t∑∞-∞=k ∑m∑∞-∞=k结合律得证 加法分配律∑∞-∞=k∑∞-∞=k ∑∞-∞=k加法分配律得证判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。

并加以证明32π 6π∑∞-∞=kkx)( ∑=nnkkx)(解 （ ）设1122由于12≠1212故系统不是线性系统。

由于 因而故该系统是非移变系统。

故系统是稳定系统。

因 只取决于现在和过去的输入 不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（ ）设∑-∞=n k k x )(1， ∑-∞=nk k x )(2，由于∑-∞=+nk k k )](bx )(ax [21∑-∞=n k k x )(1∑-∞=nk k x )(2故该系统是线性系统。

因∑--∞=t n k k x )( ∑-∞=-nm t m x )(所以该系统是非移变系统。

设 ∞∑-∞=nk M ∞，所以该系统是不稳定系统。

因 只取决于现在和过去的输入 ，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（ ）设 ∑=n n k k x 01)( ， ∑=nn k k x 02)(，由于∑=+nn k k k 021)](bx )(ax [∑=n n k k x 01)( ∑=nn k k x 02)(故该系统是线性系统。

因 ∑-=tnn kkx)( ∑+=-ntnmtmx)(≠ ∑=-nn kt mx) (所以该系统是移变系统。

设 则limn→∞ limn→∞∞ 所以该系统不是稳定系统。

显而易见，若 ≥0。

则该系统是因果系统；若。

则该因果系统是非因果系统。

设1122由于12121212故系统是线性系统。

因 而≠ 所以系统是移变系统。

设 ≤ ∞ 则有所以当 有限时该系统是稳定系统。

因 只取决于现在和过去的输入 ，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性（ ） n 12n n 1nδ 0 0≥ n n解 （ ）因为在 时， n ≠ 故该系统不是因果系统。

因为 n ∞=-∞∑ 0n ∞=∑ n ∞，故该系统是稳定系统。

因为在 时， ≠ ，故该系统不是因果系统。

因为 n ∞=-∞∑ 1n -=-∞∑ nn ∞=∞∑ n -，故该系统只有在 时才是稳定系统。

因为在 时， ≠ ，故该系统不是因果系统。

因为 n ∞=-∞∑ n ∞=-∞∑ δ 0 ∞，故该系统是稳定系统。

因为在 时， ，故该系统是因果系统 。

因为 n ∞=-∞∑ 0n ∞=∑ 12n ∞，故该系统是稳定系统。

因为在 时， 1n，故该系统是因果系统 。

因为 n ∞=-∞∑ n ∞=-∞∑1n 0n ∞=∑1n ∞，故该系统不是稳定系统。

因为在 时， ，故该系统是因果系统 。

因为 n ∞=-∞∑ 1N n -=∑ n N ∞，故该系统是稳定系统。

已知 β 且 求证sin()sin n ββ证明 题给齐次差分方程的特征方程为α2 β·α由特征方程求得特征根α1 β β j β α2 β β j β-齐次差分方程的通解为1α1n 2α2n 1 j n β 2 j n β-代入初始条件得 1 21 j n β2 j n β-由上两式得到1 1j n j ne eββ--12sinβ，2112sinβ将1和2代入通解公式，最后得到1 j nβ2j nβ- 12sinβj nβ j nβ- sin()sinnββ已知 α β 且 求解 首先由初始条件求出方程中得系数 和由(2)2(1)(0)660(3)2(2)(1)361230 y ay by ay ay by a b ++=+=⎧⎨++=++=⎩可求出于是原方程为由特征方程α2－ α－ ＝ 求得特征根α1＝ ，α2＝齐次差分方程得通解为1α1n2α2n1n2n代入初始条件得1α1 2α2 α1 α2由上二式得到1＝12， 2＝－12将 1和 2代入通解公式，最后得到1α1n 2α2n ＝12n n用特征根法和递推法求解下列差分方程：且解 由特征方程α2－α－ ＝ 求得特征根α1＝12，α2＝12通解为 1α1n 2α2n ＝ 1（12+）n ＋ 2（12）n代入初始条件得121211c c c c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 求出1， 2最后得到通解1n 2n1n +1n +一系统的框图如图 所示，试求该系统的单位取样响应 和单位阶跃响应解 由图可知ßβ为求单位取样响应，令 δ 于是有δ β由此得到()1n Dδβ- βn阶跃响应为0nk =∑βk111n ββ+--设序列 的傅立叶变换为 jw 求下列各序列的傅立叶变换解 （ ） 1 2 1 jw 2 jw jwk - jw 0jw n 0()j w w -jw - * * jw - * * jw12jw * jw -12πj θ jw ()jw dx e dw设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述1212求该系统的单位取样响应用（ ）得到的结果求输入为 ＝jwn时系统的响应求系统的频率响应求系统对输入 2π 4π的响应解 （ ）令 （ ） δ 得到δ δ由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出δ δ ≥ 递推计算出δ21 21 2121．．．δ 21 或 21也可将差分方程用单位延迟算子表示成δ由此得到21 21 δ 21 21 21 δδ δ 21δ 21δ 21 δ δ 21）将jwn e n X =)(代入)(*)()(n h n x n y =得到[]()jwjwjwnjwn jw jwnnn jwnjwn e e e e e e D D D D e D D n D De n y ------+=-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡••••+⎪⎭⎫ ⎝⎛+••••+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+=-+=2112112112121211211211)(211211*)(11322δ （ ）由（ ）得出()jw jwjwe e e H ---+=211211 （ ）由（ ）可知121121121212=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--wj w j w j e e e H ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21arctan 2211arctan 211arctan arg 222ππj j w j e e e H故：()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=21arctan242cosarg42cosππππneHneHny jwjw某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述试确定能使系统成为全通系统的 值（ ≠ ），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率ω无关的常数的系统。

解：令则或≥由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出：≥或系统的频率特性为振幅的特性平方若选取 ＝*1b 或 ＝*1a ，则有 jw 2 2即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该系统为全通系统。

一个线性非移变系统的单位冲激响应为 n 其中 为实数，且 。

设输入为β n β为实数，且 β 试利用线性卷积计算系统的输出 并将结果写成下列形式1 n 2βn分别计算 、 和（ ）中求得的 的傅立叶变换 jw 、 jw 、 jw ，并证明jw jw jw解 ∑∞-∞=-k k n x k h )()(∑∞-∞=--k k k n u k u a )()(1β∑∞-∞=--k ka )(11ββ 11111])(1[-+----αβαββn 1111+---n ααββ 1111----βαββ， ≥n αβα-1 n βββ-1iwe ωγβi n e -∞=∑0ωβj e --11ωj ωγαi n e -∞=∑0ωαj e--11ωj ∑∞=----0)(n j n n e ωββαβαβααβα-1 ωααj e --1 nj eββαβω-- 由于βα-1 ωααj e --1 ωββj e--1)1)(1(1ωωβαj j ee ---- ωj ωj 故得出 jw jw jw令 和 jw 分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：**1()()()()2njw jw nn x n x n X e X e dx π+∞-=-∞=∑⎰此式是帕塞瓦尔（ ）定理的一种形式。

证明：证法一⎰⎰∑⎰∑⎰∑∑∑⎰⎰⎰∑∑⎰∑∑⎰∑∑∑--∞-∞=--∞-∞=--∞-∞=∞-∞=∞-∞=-------∞-∞=∞-∞=-∞-∞=∞-∞=--∞-∞=-∞=-∞=-=====⎪⎩⎪⎨⎧≠=--==--=-=====πππππππππππππππππππππππππππππdwe X e X dwen x eX dw e e X n x dw e e X n x n x n x n x n x dw e X e X m n m n e e m n dw m n ejw dwe n x m x dwe n x em x dwe X e X en x eN x e X e n x e X jw jw n jwnjwjwn jw n jwn jw n n n jw jw m n jw m n jw m n jw n m m n jw jwnjw jw n jwnn jwnjwn jwnjwn )(*)(21)()(*21])(*21[)(])(21[)()(*)()(*)()(*)(21,....0,....2)(21)(*)(])(*][)([21)(*)(21)(**))(*()(*)()()()()(证法二：其中当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图 所示，图中 表示取样周期，假设 很小，足以防止混叠失真，把从 α 到 α 的整个系统等效成一个模拟滤波器。