二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
1
4
z
z 2 1
3z
2
X (z)
z2
1 4z3Biblioteka (z1 1)( z
3)
1 2
1 z 1
z
1 3
利用z变换的时移性质： Z 1 z 1 X (z) x(n 1) u(n 1)
令： 则：
X (z) z 1 X ' (z) z 1 1 z z 2 z 1 z 3
z
z k1 z zk
X (z) Ak (z zk ) z zzk
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法：
例2-4-1：X
(z)
1
z 1 4z1
3z
2
,|
z
|
3
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
X (z)
z2
z 4z
3
(z
z 1)( z
3)
1 2
z
z 1
z
z 3
x(n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
n
n0
n0
1 az 1 (az 1 )2 (az 1 )n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。
q az 1,
S
a1 1 q
1 1 az 1
z。 za
z a为极点，当 | az1 | 1时， 即 z a时，在圆 z a 外，收敛。
三、左边序列
例5：求序列 x(n) bnu(n 1)的Z变换及收敛域。
§2.1 Z变换
Z变换的表示：
双边z变换： 单边z变换：
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n0
Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面
§2.2 收敛域
1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
零极点
X (z) N(z) 为有理分式，
D(z) D(z)=0的根称为z变换的极点，
N(z)=0的根称为z变换的零点。
极点与收敛域的关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。
1
Z[x(n)] x(n)Z n bnZ n
n
n
n1
bnZ n
1
b
1z b1z
z b
z
z zb
q b1z, 当| b1z | 1时，即 z b时，
在圆 z b内，收敛。 z b为极点
左边～圆内 右边～圆外
四、双边序列
例6： x(n) a n ，|a|<1
1
Z[x(n)] a|n|Z n anZ n anZ n
z zk
再利用已知的z变换：
Z[ Ak zknu(n)]
Ak
z z zk
或Z[-Ak zknu(-n -1)]
Ak
z z zk
N
结合收敛域写出反变换： x(n) A0 Ak (zk )n
k 1
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根
②计算系数Ak时，要写成：
X (z) A0 N Ak
n
n
n0
az 1 az
1
1 az
1
1 a2 (1 az)(1 az1)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ (z 1)2
作业2.1(2)(6)
sin(n0
)u(n)
~
z2
sin z sin(0 ) z2 2z cos0 1
x' (n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
x(n) h(n) y(n)
X (Z) H(Z) Y(Z)
系统函数： H (Z ) Y (Z )
X (Z)
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、D(z)
一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式
X (Z ) Ak z
求系数Ak
X (z) z
z
z2 4z 3 (z 1)( z 3)
A1
X (z) z
(z
zk )
zzk
X (z) A2 z (z zk ) zzk
(z
1 1)(z
3)
(z
1)
z 1
(z
1 1)(z
3)
(z
3)
z 3
1 1 13 2
1 1 31 2
第二章 Z变换
讨论z变换的目的：
离散系统可以用差分方程表示：
N
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器，
要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接解
起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化为 代数方程，使求解过程简化。
LT~微分方程