频域卷积定理
Y (e j ) 1 X (e j ) * H (e j ) 1 X (e j )H (e j( ) )d
2
2
Y (e j )
x(n)h(n)e jn
n
x(n)[ 1
H (e j )e jnd ]e jn
n
2
Y (e j ) 1
H (e j )[
x(n)e j( )n ]d
变换存在的充分条件是：
X (e j ) x(n) n
有些序列不满足以上条件，但是平方可和的，也能求到它的变换。
例如理想低通滤波器的单位样值响应：
h(n)
h(n)
c
Sa(cn)
sin cn n
c
n
它的傅里叶变换，即滤波器的频响：
H (e j )
h(n)e jn
n
1 0
c c
H (e j )
1
c
c
有些序列既不满足绝对可和，也不满足平方可和，但是引入频域 冲激信号之后，也可表示它的傅里叶变换。如：
x(n) 1
x(n)
1
-1 0 1 2 4 5 6 7
n
X (e j ) e jn 2 ( 2r )
n
r
X (e j )
(2 )
-2π 0 2π 4π 6π 8π
这里周期卷积： Y (e j ) X (e j ) W (e j )
1 X (e j )W (e j( ) )d
2
7、帕斯瓦尔定理： x(n) y*(n) 1 X (e j )Y *(e j )d
n
2
x(n) 2 1 X (e j ) 2 d
n
2
时域卷积定理
证明
X
e
(e
jw
)＝X
* e
(e
jw
)
X
o
(e
jw
)＝
X
* o
(e
jw
)，同样满足：
X e (e j )
2
n
1 H (e j ) X (e j( ) )d
2
1 H (e j ) * X (e j )
2
7. 帕斯维尔(Parseval)定理
2
x(n)
1
x(e j 2 d
n
2
2
x(n) x(n)x*(n)
x*(n)[ 1
X (e j )e jnd)]
n
n
n
2
1 X (e j ) x(n)e jnd
§2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义和性质
一、序列傅里叶变换（时域离散信号傅里叶变换）的定义：
X (e j ) x(n)e jn n
x(n)
1
X (e j )e jnd
2
记为：
X (e j ) DTFT [x(n)] x(n) IDTFT [ X (e j )] x(n) DTFT X (e j )
1 2
[x(n)
x*
(n)]
xo
( n)
1 [x(n) 2
x* (n)]
若 xe(n) xo (n) 是实函数，则他们分别是偶函数与奇函数。
序列的傅里叶变换，一般是频率的复函数
X (e j ) X r (e j ) jX i (e j )
也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和：
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
y(n) x(n)*h(n)
Y (e jw ) FT[ y(n)] [ x(m)h(n m)]e jwn
n m
x(m) h(n m)e jwn
m
n
令n m＝k
＝ x(m) h(k)e jw（m＋k）
m
k
＝ x(m)e jwm h(k)e jwk
m
k
X (e jw )H (e jw )
x(n)=cosωn+j sinωn 由上式表明， 共轭对称序列的实部 确实是偶函数， 虚部是奇函数。
对于一般序列可用共轭对称与共轭反 对称序列之和表示， 即
x(n)=xe(n)+xo(n) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出， 将n用-n代替， 再取共轭得到
x*(-n)=xe(n)-xo(n) ，则有：
Fn
1 T
-Ω 0 Ω 2Ω 3Ω 4Ω 5Ω 6Ω
将上式中时间变量用频率变量做一
个代换，并令 T=2π ，即
t
t
0 1
于是有：
n0
e jn 2 ( 2r )
n
r
二、离散时间傅里叶变换的性质： 1、线性： ax1(n) bx2 (n) DTFT aX1(e j ) bX 2 (e j ) 2、时移与频移： x(n m) DTFT e jm X (e j )
2
n
1
X (e j ) X *(e j )d 1
2
X (e j ) d
2
2
8、奇偶对称性：满足以下关系的信号或函数，
xe (n) xe*(n) 称为共轭对称的
xo (n) xo* (n) 称为共轭反对称的
任何函数可以表示为： x(n) xe (n) xo (n)
而Leabharlann xe(n)这里
X
e
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
* (e
j
)]
X o (e
j )
1 2
[X
(e
j
)
X
* (e j
)]
例 2.2.2 试分析x(n)=e jωn的对称性。 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn 因此x(n)=x*(-n)， x(n)是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到
x(n)e j0n DTFT X (e j(0 ) )
3、时间倒置（反褶）： x(n) DTFT X (e j )
4、频域微分：
nx(n) DTFT j dX (e j )
d
5、时域卷积： y(n) x(n) h(n) 则 Y (e j ) X (e j ) H (e j )
6、频域卷积： y(n) x(n) w(n) 则 Y (e j ) X (e j ) W (e j )
提示：利用理想冲激序列的傅里叶变换
FT[T
(t)]
s ( ns )
n
1 Ts
e jnTs , 令Ts
n
w
我们知道，单位冲击序列是一以T为周期的周期信号
T (t) (t rT )
r
1
e jn0t 1
e jn0t
T n
T n
这里
0
2
T
T (t)
(1)
-T 0 T 2T 3T 4T
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
对于频域函数X (e jw )也有和上面类似的概念和结论：
X (e jw ) X e (e jw ) X o (e jw ) 式中X e (e jw )与X o (e jw )分别称为共轭对称部分 和共轭反对称部分, 它们满足：