2015年重庆中考数学第24题专题讲义1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。

（1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。

24.(1)AB=45(2) 证明在正方形ABCD中易证RT△CDF≅RT△DAE∴∠DGE=∠DAE=RT∠∴∠EGC=∠EBC=RT∠∴∠EGC+∠EBC=180°∴B、C、G、E四点共圆∠AED=∠BCG连EC，∴∠BGC=∠BEC因为BE=EA BC=AD∴RT△BCE≅RT△ADE∴∠AED=∠BEC∴∠BGC=∠AED∴∠BGC=∠BCG∴BG=BC又因为BH平分∠GBC∴BH是GC的中垂线∴GH=HC=GC/2=4√(5)/5/2=2√(5)/5∴GH=DG∴△DGH是等腰直角三角形即：DE－HG＝EG。

2．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC.(1)若AB=13，CF=12，求DE的长度；(2)求证：13DCM DMF∠=∠.GHFEDCBAMFED CBA第24题4321MFE DCBAB第24题图24.解:(1)∵平行四边形,13ABCD AB = ∴13==AB CD ，又 ∵,12CF DE CF ⊥=∴5DF ==又∵F 为DE 中点∴210DE DF == ……4′ (2)连接CE , ∵,CF DE F DE ⊥为中点 ∴,CD CE =∴12∠=∠在CDM CEB ∆∆和中 ∵ CD CE CM CB DM BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴CDM CEB ∆≅∆ ∴34∠=∠又∵41222∠=∠+∠=∠ ∴322∠=∠ ∴3232DMF ∠=∠+∠=∠∴123DMF ∠=∠ 即13DCM DMF ∠=∠ ……10′3．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ， ABE ∠ 的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ． （1）若︒=∠30CBE ，3=AG ，求DH 的长度；（2）证明：DF AH BE +=．24: ∵ABCD 是正方形∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠CDA =90°∵∠CBE =30°且BG 平分∠ABE ,∴∠ABG =∠GBE =30° 1分 ∴∠AGB =∠GBE ∴∠ABG =∠AGB∴AB =AG =3 2分 又∵在Rt △ABE 中，∠ABG =30° ∴AH =33AB =1 3分 又∵ABCD 是正方形 ∴AD =AB∴DH =3—1 4分 （2）证明：将△ABH 绕着点B 顺时针旋转90° （辅助线加说明） 5分 ∵ABCD 是正方形∴AD =BC ,∠ADC =∠C =90° ∴∠ADF =∠C ∵AF ∥BE ∴∠F =∠BEC ∴△ADF ≌△BCE∴DF =CE6分 又由旋转可知：AH =CM ,∠AHB =∠M ,∠BAH =∠BCM =90° ∵∠BCD =90°∴∠BCD +∠BCM =180°∴点E 、C 、M 在同一直线。

7分 ∴AH +DF =EC +CM =EM 又∵BG 平分∠ABE , ∴∠ABG =∠GBE 又∵∠ABH =∠CBM ∴∠GBE =∠CBM∴∠GBE +∠CBE =∠CBM +∠CBE即 ∠GBC =∠MBE 8分 又∵正方形ABCD 中，AD ∥BC ∴∠AHB =∠GBC ∴∠GBC =∠M∴∠M =∠MBE 9分 ∴BE =EM =AH +DF∴BE =AH +DF 10分A BC D E F GH第24题M6. 已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.（1）若DG=2，求DH的长；（2）求证：BH+DH=2CH.GHFA C BD E24. （1）∵DG ⊥CF 且DF ＝CD∴∠FDG=21∠FDC.................1分∵DH 平分∠ADE∴∠FDH=21∠ADF.................2分∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=21∠FDC-21∠ADF =21（∠FDC-∠ADF ）=21∠ADC=45°....3分∴△DGH 为等腰直角三角形 ∵DG=2，∴DH ＝22 .................5分（2）过点C 作CM ⊥CH, 交HD 延长线于点M ∵∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=900 ∴∠1=∠2又△DGH 为等腰直角三角形 ∴△MCH 为等腰直角三角形 ∴MC=HC又∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD ＝CB∴△MCD ≌△HCB .................8分 ∴DM ＝BH又∵△MCH 为等腰直角三角形 ∴DM+DH=2CH∴BH+DH=2CH .................10分7． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， (1)求证： DH =AG+BE ； (2)若BE=1，AB=3，求PE 的长．H P G F E D CB A24．（1）证明：在DC 上截取DM=BE ，连接AM. ∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABE= ∠ADM=90°，AB=AD∴△ABE ≌ADM ∴∠1= ∠2 ……2分 ∴∠1+ ∠BAM= ∠2+ ∠BAM=90°，即AM ⊥AE 又∵PF ⊥AE 于F ∴AM ∥FH又∵AB ∥CD ∴四边形AGHM 是平行四边形 ∴AG=MH ……4分 ∵DH=DM+MH ∴DH=AG+BE ……5分(2)连接AP .∵AB=BC, ∠ABP= ∠CBP=45°，BP=BP ∴△ABP ≌△CBP∴PA=PC, ∠3= ∠4∵PE=PC ∴PA=PE ……7分 ∵PE=PC ∴∠4= ∠5 ∴∠3= ∠5 又∠ANP= ∠ENB ∴∠3+ ∠ANP= ∠5+ ∠ENB=90°∴AP ⊥PE ，即△APE 是等腰直角三角形. ……9分∵BE=1，AB=3 ∴AE=221310+=∴10522PE === ……10分8．已知，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE 的长； （2）求证：∠CEG=∠AGE ．解答： （1）解：∵CE=CD ，点F 为CE 的中点，CF=2， ∴DC=CE=2CF=4，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=4， ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEB=90°，45312NMH PGF E D CBA在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；（2）证明：过G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，，∴△DCF≌△ECG（AAS），∴CG=CF，∵CE=CD，CE=2CF，∴CD=2CG即G为CD中点，∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，∵GM⊥AE，∴AM=EM，∴∠AGE=2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM=∠CEG，∴∠CEG=∠AGE．9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求证：OE=OF（2）若BC=23，求AB的长。

10．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．12．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接∠=∠．BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且12（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF＋FM．14、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．20、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：(1)∠ADF=∠BCF；(2) AF⊥CF.证明：（1）在矩形ABCD中，∵∠ADC=∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，∵F为DE中点，∴DF=CF，∴∠FDC=∠DCF，∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，即∠ADF=∠BCF；（2）连接BF，∵BE=BD，F为DE的中点，∴BF⊥DE，∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，在△AFD和△BFC中AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ，∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD=∠BFC，∵∠AFD+∠BFA=90°，∴∠BFC+∠BFA=90°，即∠AFC=90°，∴AF ⊥FC ．24、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ；（2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ，∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ．∴△BCQ ≌△CDP ．（2）连接OB ．由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC ，而点O 是AC 中点，∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ，∴OQ=OP ．25.如图，点E 为矩形ABCD 外一点，DE ⊥BD 于乎点D, DE= CE ，BD 的垂直平分线交AD 于点F ，交BD 于点G.连接EF 交BD 于点H.(1)若∠CDE=∠DEH=∠21HEC, 求∠ABG 度数； (2)求证：H 为EF 中点．3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，AB=AD ∠DAC=∠BAC=45°AG=AG ，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．。