2017年重庆中考材料阅读练习题
1、2017届南开（融侨）中学九上入学
24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：
（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。
数字111经过
三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。
（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。
你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。
2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一
23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。
比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。
根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；
（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。
3、2017届南开（融侨）中学九上期末
25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．
（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”)
（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x
=上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。
4、2017届一中九上月考三
24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得
a n
b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7
a n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被
7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-⨯=，
因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．
（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．
5、2017届南开（融侨）中学九下入学
25、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制。
现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进
一。
对于任意一个用n (10)n ≤进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~(1)n -进行记数，特点是逢n 进
一。
我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：
五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，记作()523469=，
七进制数()271361737676=⨯+⨯+=，记作()713676=
（1）请将以下两个数转化为十进制：()5331= ，()746= ；
（2）若一个正数可以用七进制表示为()7abc ，也可以用五进制表示为()
5cba ，请求出这个数并用十进制表示。
6、2017届南开（融侨）中学九下入学
7、2017届八中学九下入学
24．一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数，其中a，b两部
分数位相同，若a
2
b
+
正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，
例如：357满足37
5
2
+
=,233241满足
2341
32
2
+
=
(1)写出一个三也平衡数和一个六位平衡数，并证明任意一个六位平衡数一定能被3整除；
(2)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为3的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数。
8、2017届八中学九下周考三
24．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x y
≤），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy。
例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为152433
⨯<⨯<⨯，所以3+3是6的最佳分解，所以F(6)=3×3=9．
(1)求证：对任意一个正整数m，总有F(2m)=m2。
(2)设两位正整数t=lOa+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t'十位上的数等于数t十位上的数与t 个位上的数之和，数t'个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t'-t=9，且F(t)能被2整除，求两位正整数t．
9、2017届巴蜀九下月考一
23、（10分）材料阅读： 将分式2253
x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式。
解：由分母为3x +，可设()()2253x x x x a b +-=+++
则由()()()()2222533333x x x x a b x ax x a x a x a b +-=+++=+++=++++
Q 对于任意x ，上述等式均成立，3235a a b +=⎧∴⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩ ()()()()2312312522133333
x x x x x x x x x x x x +--+-+-∴==-=--+++++ 这样，分式2253
x x x +-+就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式。
（1）将分式2361
x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）将分式422251
x x x --+-+拆分成整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式。
10、2017届巴蜀九下月考二
24．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字 ，且千位数字等于百位数字于十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数.例如：自然数4312，其中3>1,4=3+1,2=3-1,所以4312是亲密数；
（1）最小的亲密数是 ，最大的亲密数是 ；
（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差能被原亲密数的十位数字整除；
（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数.
11、2017届一中九下入学
24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得
a n
b =，即a bn =，例如：若整数a 能被101整除，则一定存在整数n ，使得101
a n =，即101a n =，一个能被101整除的自然数我们称为“孪生数”，他的特征是先将数字每两个分成一组，然后计算奇数组之和与偶数组之和的差，如果差能被101整除，则这个数能被101整除，否则不能整除.当这个数字是奇数位时，需将这个数末位加一个0，变为偶数再来分组。
例如：自然数66086421，先分成66，08，64，21.然后计算66+64-(8+21)=101，能被101整除，所以66086421能被101整除；自然数10201先加0，变为102010再分成10,20，10，然后计算10+10-20=0，能被101整除，所以10201能被101整除。
（1）请你证明任意一个四位“孪生数”均满足上述规律；
（2）若七位整数17562m n 能被101整除，请求出所有符合要求的七位整数.
12、2017届一中九下三月月考入学
24．整除规则：若一个整数,将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除．如46379，由379-7×46=57,∵57能被19整除，∴46379能被19整除．（1）
（2）请用上述规则判断52478和9115是否能被19整除；
（3）
（4）有一个首位是1的五位正整数，它的个位数不为0且是千位数的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好能被19整除，请求出这个数．。