矩阵的秩是矩阵行秩和列秩的统称，初等行变换和初等列变换均不改变矩阵的秩。对于齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组仅有零解；当秩小于未知数的个数时，方程组有非零解。对于非齐次线性方程组，当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时，方程组无解；当两者相等且等于未知数的个数时，方程组有唯一解；当两者相等但小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。此外，矩阵的秩还与向量组的线性相关性有关。当பைடு நூலகம்阵的秩等于其列数时，列向量组线性无关；当秩小于列数时，列向量组线性相关。这些性质在解决线性代数问题中具有重要意义。