E


0
0
8 0
1 0
5 7
3

2

0
0
0
0
0

RA 3 RB 2 RC 3 RD 2 RE 3
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
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7
例2
设
a A 1
1 a
1 1
如果
RA 3
, 求a.
第四节
第二章
矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、满秩矩阵
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1
一、矩阵的秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 A aij mn 在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k (1 k min m, n)
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
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1 A 3
1

1 1
2 1 2 0
1
3
1 4
2 4
5 3 6 0 8 5 4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
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12
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：RA n A 0
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13
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
1 1 a
a11
解 RA 3 A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 0
11a
a 1 或 a 2
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8
例3
K 1 1 1
A


1 1 1
K 1 1
1 K 1
1
1 K

RA 3
则 K 3
11 1 1
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R( A) R( AT ) .
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
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6
例如 1 2 3 0 A 0 1 0 1 0 0 1 0
1 2 5
D


0
3
4

0 0 0
1 2
1 1 0
B 0 1 C 0 1 0
0 0
0 0 1
2 1 2 3 5
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2,, Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
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14
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n Nhomakorabea阶单位阵 E .
RA n A ~ E
RA n A ~ En
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
R(AB) min{R(A)，R(B)}。
设A是 m n 矩阵，B是 n t 矩阵，
性质1 性质2 性质3 性质4
R(A) R(B) n R(AB).



1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0 0 1 0 E
0 0 1
RA 3
A为满秩方阵。
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15
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
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10
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
2
例如
1 2 3 1 设 A 4 6 5 4 ，
1 0 1 1
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素
所构成的二阶子式为
2 1 D2 0 1
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
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3
2. 矩阵的秩
定义2 设 A
aij
，有r
mn
阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
记作R(A)或秩(A)。
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4
规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
A K 3 1 K 1 1 (K 1)3(K 3)
11 K 1
11 1 K
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9
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A) R(B)
说明：1. ri rj 只改变子行列式的符号。
2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
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5
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1
设
B


1 0
2 2
3 7
4 0
为阶梯形矩阵，求R(B)。
0 0 0 0
1
解 由于
2 0 ，存在一个二阶子式不为0，而
02
任何三阶子式全为0， 则 R(B) = 2.
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2

1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
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11
例5
设A


1 3
1

1 1
2 2 ,
且R（A）
2，求,

5 3 6