3 A 1 4
4 3 2 , 则 A = 1 4 3
4 3 3 4
4 3
3 3+4 4 3 4-4 3 = 4 3-3 4 4 4+3 3 52 0 4 4 = 可知A 1 的值，同理可计算A 2 的值. 2 5 0
若A可逆，则可以使用初等变换法求A-1 A E 初等行变换 E A1 ；


P60 5(2)
初等变换法求解矩阵方程:前提A可逆！
XA B，
A E . 初等列变换 1 B BA
行阶梯形矩阵
例5
即AB与B等价
例6
小结
1. 矩阵的秩的概念
2. 求矩阵的秩的方法 (1)定义法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2)初等变换法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1 ，试求矩阵A的秩. 1 1 x
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t. (2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}. r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。 (3) r(A)r(AT)，
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。
P67:32
1 2 2 1 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 1 2 0
练习题 P67:31,32
3 1 k 2 1 3 ，且A的秩为3，求k . 0 4 2 5
P67:32
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3. 的一个最高阶非零子式 其中 为求A的最高阶非零子式 考虑由A的 1、2、4 列构成的 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 矩阵 A . 2 0 1 5 3 3 2 5 1 6 1 1 6 4 1 4 3 2 6 0 4 1 A0 . ~ 2 0 5 0 0 4 解 因为 1 6 1 0 0 0 3 2 0 5 0 可见r(A0 )＝3, 3 2 3 6 1 A 2 0 1 5 3 3 2 5 又因 A 的子式 1 6 4 1 4 0 3 2 6 0 2 0 5 行变换 1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 ~ 0 0 0 4 8 所以这个子式是A的最高阶非 0 0 0 0 0 零子式.
例如
1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 1 1 A 3 1 是 A的一个二阶子式. 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 说明 k k mn矩阵的k阶子式有 C m C n 个.
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1 ，试求矩阵A的秩. 1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 ，试求矩阵A的秩. 31.设三阶矩阵A 1 x 1 1 1 x
0 y ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 y 0 ... x 0 ... 0 y x n-1
=x n +(1) n+1 y n
习题1-5, P25 :5
P40:3(3)、(4),
(3)
(4)
P40-4
4
P40-6
6
已知两个线性变换 y3 x1 2 y1 x2 2 y1 3 y2 2 y3 , x 4y y 5y 1 2 3 3 y1 3z1 z2 z3 , y2 2 z1 y z2 3z3 3
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。
问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ 定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B). 即初等变换不改变矩阵的秩 . 根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
求z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换.
n个变量x1, x2 ,
, xn与m个变量y1, y2 ,
, ym之间的关系式
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
Amn
r ~ r ~ c ~
行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 标准形
(形式不唯一) (形式唯一)
Er F O
O O mn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1 k m,1 k n) 位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所 处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
任课教师:胡凤珠
矩阵的秩
秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念．
秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在 1879年首先提出的． 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存 在性、向量组的线性相关性等问题
的重要工具．
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
二、矩阵的秩的求法
一、矩阵的秩的概念
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
解答：可能有 .
1 0 0 0 例如 A 0 1 0 0 r(A)3. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 是等于0的3阶子式. 0 0 是等于0的2阶子式 0 1 0
1 2 2 1 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 1 2 0
练习题 P67:31,32
3 1 k 2 1 3 ，且A的秩为3，求k . 0 4 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4 15 a a -1 a
P60:4(4),
用初等变换法判定下列矩阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵. 3 -2 0 -1 0 2 2 1 （4） 1 -2 -3 -2 0 1 2 1
若A可逆，则可以使用初等变换法求A-1 1 A E 初等行变换 E A ；


P60:4(4),
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ r ~ c ~
行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 标准形
(形式不唯一) (形式唯一)
Er F O
O O mn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
容易出错
1 1 若三阶矩阵A的伴随矩阵为A* ,已知 A , 求 3 A 2 A* . 2 P66:18
可逆矩阵性质（5）若矩阵A可逆，则 A
1
A .
1
3 4 o 4 3 P66:22 , 求 A8 及A4 . 设A 2 0 o 2 2
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O． 矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中 2 1 0 3 2 1 2 3 0 3 1 2 5 A 2 3 5 B . 0 0 0 4 3 4 7 1 0 0 0 0 0 解 在A中 容易看出一个 B 是一个有 3 个非零行的 2阶子式 行阶梯形矩阵 其所有 4 阶子 式全为零. 以 3 个非零行的首 1 2 1 0 2 3 非零元为对角元的3阶子式 A的3阶子式只有一个|A| 经计 2 1 3 算可知|A|0 因此r(A)2. 0 3 2 0 0 4 提示 是一个上三角行列式 它显然 对于行阶梯形矩阵 它的 =24不等于0 因此r(B)3. 秩就等于非零行的行数.
a11 a12 a21 a22 (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n A 当|A|0时 r(A)n. 可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am 2 不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵. a1n a2 n amn
(2.3)
称为从变量x1, x2 ,
, xn到变量y1, y2 ,
, ym的线性变换.
其中a （ . ij i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）为常数
作业：P46:1(1),7(1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP66:18
P46:1(1),
0 3 3 , AB A 2 B, 求B. 设A 1 1 0 7(1) 1 2 3
11 12
14
a21 D= a31 a41
a22 a32 a42
2 0 1
a24 a34 a44
P21 ,5(3)
1+1 （-1）
P21 ,5(3)
x y ... 0 0 11 ... ... ... ... ... 原式=x (1) y (1)1 2 0 0 ... x y 0 0 ... 0 x n-1 =x n +y (1)1 2 y (1) y ... 0 0 n -11 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... x y n 2