1
2
高中数学函数最值问题的常见求解方法
一、配方法
例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322
⋅-=+的最大值和最小值．
解析：34)3
22(32
+
--=x
y ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x
．可得1min =y ，3
4max =y ． 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值． 例2.若x 、R y ∈且满足：022
2
=-+++y x xy y x ，则m ax x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(2
2
=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥∆，即有
0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤
x ．即 8
1max =x ． 同理，0)()12(2
2
=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥∆，即有
0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8
1
min -=y ．
例3.在2
0π
≤
≤x 条件下，求2
)sin 1()
sin 1(sin x x x y +-=
的最大值．
解：设x t sin =，因0(∈x ，)2
π
，故 10≤≤t ，则2
)
1()1(t t t y +-=
，即 0)12()1(2
=+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2
≥+--=∆y y y 即 8
1
≤y 。

将81=
y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以8
1max =y . 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2
=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须
将8
1
=y 代入方程中检验，看等号是否可取．
练习：已知函数)(1
2
R x x b
ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ） 三、换元法 (一)局部换元法
例4.求函数x x y 21-+=的最值．
解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2
1
2≤+--
=t y 当且仅当1=t 即0=x 时取等号．故1max =y ，无最小值． 例5.已知20≤
≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．
解析：2
)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin
则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2
12
2-++=a a t y
当2=
t 时，2122max +
+=a a y ；当a t -=时，)1(2
12
min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．
(二)三角代换法(有时也称参数方程法)
例6.已知x 、y R ∈，412
2≤+≤y x ．求2
2
y xy x u ++=的最值．
解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 412
2≤+≤y x ，故 412
≤≤t
)2sin 2
1
1()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u
故当42
=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2
1max =
u ． 练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设2
2y x S +=，则
max
1S +
m in
1S =____。

练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232
2=+，求y x +的最值．
解析：化x y x 6232
2
=+为123)1(22
=+-y x ，得参数方程为⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+=θθsin 26cos 1y x )sin(2101sin 26cos 1ϕθθθ++=+
+=+∴y x ， 故 2101)(max +=+y x ，2
101)(min -=+y x ． (三)均值换元法
例7.已知1=+b a ，求证：4
4b a +的最小值为
8
1
． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可
3 4
以令t a +=
21，t b -=2
1
，(R t ∈)，则 222222222244)2
1
()21(2])21()21[(2)(t t t t b a b a b a -+--++=-+=+
2222)41(2)221(t t --+=)281()4241(4242t t t t +--++= 8
1238142≥++=t t ∴4
4b a +的最小值为81．在0=t 即2
1==b a 时取等号.
四、三角函数有界法：对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x 例8.求函数x x y 2
cos 22sin -=的最值． 解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2
--=--=-=πx x x x x y ,因为 1|)4
2sin(|≤-π
x ，
故当1)42sin(=-
π
x 时，12max -=y ；当1)4
2sin(-=-π
x 时，12min --=y ．
五、均值不等式法
例9：已知1sin sin sin 2
2
2
=++γβα(α、β、γ均为锐角)，那么γβαcos cos cos 的最大值等于__________.
解析：因α、β、γ均为锐角，所以γβαcos cos cos γβα2
22cos cos cos =
9
6
2)3sin 1sin 1sin 1()3cos cos cos (32223222=
-+-+-=++≤γβαγβα 当且仅当31sin sin sin
222
===γβα时取等号，故γβαcos cos cos 的最大值为
9
6
2． 例10.求函数x b x a y 2
2cos sin +=的最小值(a 、b +
∈R )． 解析： x b x a y 2
2sin sin +=x x ab b a x b b x a a 2
222cot tan 2tan cot ++≥+++= ab b a 2++=当且仅当x btg x actg 22= 即 b
a
x tg =
2时，函数y 取得最小值ab b a 2++ 四、单调性法
例11.求函数x
x
x y sin 1cos sin 22+-=的最大值．
解析：y )1
sin 2
()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=
x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数t
t y 2
-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ． 五、平方开方法
例12.若a 、b 是不相等的正数，求函数++=
x b x a y 22sin cos x b x a 22cos sin +的最值．
解析：因a 、b 是不相等的正数，x cos 与x sin 不能同时为０，故0>y ．
ab x b a b a y +-++=∴2sin 4
)(222
2
当12sin 2=x 时，)(2max
2
b a y
+=，)(2max b a y += 当02sin 2
=x 时，ab b a y
2min
2
++=，b a y +=min
六、数形结合法：借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效． 例13.求函数6
cos 31
sin 4--=
x x y 的最值．
解析：将函数式变形为)2(cos 3)
41
(sin 4--=
x x y ，看成两点2(A ，)4
1，x B (cos ，)sin x 连线的斜率， 七、利用二次函数的性质
例14.求函数x x m y 2cos sin 42--=的最值．
解析：2
2
2
21)(sin 2)sin 21(sin 42m m x x x m y -+-=---=，因为1|sin |≤x ， 当-∞∈(m ，]1-时，m y 43max -=，m y 43min +=．
当1[-∈m ，]0时，m y 43max -=，2
min 21m y -=． 当0[∈m ，]1时，m y 43max +=，2
min 21m y -=．
当1[∈m ，)∞+时，m y 43max +=，m y 43min -=．。